AMC 10 · 2020 · #6
학년 5 geometry-2d
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격자를 그리고 대칭축 후보를 먼저 표시(도구 #1) — 도형의 테두리가 정사각형이 아닌 직사각형이라 색칠을 정하기도 전에 대칭축이 확정됨. 그다음 도구 #17로 색칠된 칸을 각 축에 비추어 어떤 칸이 딸려 오는지 확인. '최소'라는 말은 도구 #14로 제대로 처리 — 먼저 '거울상은 피할 수 없다'는 하한을 증명하고, 그 하한을 정확히 달성하는 색칠을 실제로 제시해서 최솟값이 도달 가능함을 보임. 도구 #3으로 개수를 보기와 맞춤.
대칭축의 위치 확정
격자 크기가 대칭축을 정해 줍니다.
정사각형이 아닌 직사각형은 좌우로, 위아래로 — 딱 두 가지 방법으로만 자기 자신에 포개진다.
정사각형이 아닌 직사각형은 좌우와 상하, 두 가지로만 자기 위로 접힌다.
▸ 왜?
접는 선은 접히는 것과 직각으로 만나 정확히 반으로 자르며, 그것이 두 거울을 정한다.
▸ 왜?
대칭이동은 직사각형을 늘리지 않고 옮기므로, 긴 변이 짧은 변 위에 놓일 수 없다.
대칭을 규칙으로 적기
두 대칭을 좌표 규칙으로 씁니다.
칸마다 열과 행으로 이름을 붙이면 거울상을 눈대중이 아니라 뺄셈으로 찾을 수 있다.
5.G.A.1Visualize Spatial Relationships첫 칸 비추기
첫 칸이 넷을 끌고 옵니다.
두 축 어디에도 걸치지 않은 칸은 언제나 짝 셋을 함께 끌고 온다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships둘째 칸 비추기
축 위의 칸은 둘만 만듭니다.
축 위에 앉은 칸은 자기 자신이 거울상이라 짝이 절반만 필요하다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships셋째 칸 비추기
셋째 칸도 넷을 끌고 옵니다.
서로 다른 열에서 출발한 칸끼리는 절대 같은 칸으로 비춰지지 않는다.
4.G.A.3Draw A Diagram하한 구하기
이미 칠해진 셋을 빼면 하한이 나옵니다.
대칭이 강제하는 칸을 먼저 세고, 이미 칠해진 칸을 빼면 된다.
4.OA.A.3Extreme Principle실제로 가능한지 확인
실제 배치가 있어 답은 7입니다.
거울로 만들어 낸 집합은 저절로 대칭이라, 하한을 구한 방법이 곧 만드는 방법이 된다.
4.G.A.3Extreme Principle이 AMC 12 문제는 4~5학년 대칭만 알면 풀려요 — 색칠된 칸은 자기 거울상을 끌고 오는데, 두 축 어디에도 안 걸치면 넷, 축 위에 있으면 둘이라서 4 + 2 + 4 = 10 칸이 필요하고 7 칸을 더 칠해야 해요.
- 대칭축의 위치부터 확정
- 두 대칭을 규칙으로 적기
- 첫 번째 색칠 칸 비추기
- 두 번째 색칠 칸 비추기
- 세 번째 색칠 칸 비추기
- 색칠 개수의 하한
- 7이 실제로 가능한지 확인
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