AMC 10 · 2021 · #9
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
log₂ 5는 지저분한 무리수라서 손으로 정확히 계산할 수 없다. 그런데 이 식에서 지저분한 부분은 그것 하나뿐이다. 80, 40, 160, 20이 모두 2의 거듭제곱 곱하기 5 이기 때문이다. 그래서 그 하나에 a = log₂ 5 라는 이름을 붙이면 모든 로그가 4 + a 같은 꼴로 바뀐다. 다만 그 전에 두 분모를 밑이 2 인 로그로 바꿔 쓴다(다르게 정리하기). log₄₀ 2로 나누는 것은 log₂ 40을 곱하는 것과 같다. 그러고 나면 나머지는 a 에 대한 평범한 대수 계산이다.
밑이 40, 20 인 로그 뒤집기
밑이 다른 로그를 뒤집습니다.
40에 도달하는 데 2 배 하기가 log₂ 40 번 필요하다면, 2에 도달하는 것은 그 여정의 1/(log₂ 40) 만큼이다. 그래서 두 로그는 역수이고, 하나로 나누는 것은 다른 하나를 곱하는 것이다.
로그의 밑과 진수를 맞바꾸면 그 값이 뒤집힌다.
▸ 왜?
로그는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 두 읽기는 같은 사실을 반대 끝에서 잰 것이다.
▸ 왜?
그 사실을 거꾸로 읽으면 횟수가 뒤집히며, 그래서 맞바꾼 로그가 역수가 된다.
지저분한 부분에 이름 붙이기
지저분한 부분에 이름을 붙입니다.
서로 달라 보이는 네 로그는 사실 같은 미지수 a 를 2, 3, 4, 5 만큼 밀어 놓은 것이다. 네 수가 2를 몇 개 품고 있느냐로만 다르기 때문이다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable두 곱을 전개하기
두 곱을 전개합니다.
두 쌍 모두 밀어 놓은 값의 합이 7로 같으므로, 두 곱은 상수항에서만 달라질 수 있다.
9.A-APR.A.1Convert To Algebra빼면서 a 가 사라지는 것 보기
빼면 문자가 사라져 2가 남습니다.
지저분한 부분이 양쪽에 똑같이 들어 있으므로 뺄셈이 그것을 지워 버리고 평범한 수만 남는다.
9.A-SSE.B.3Convert To Algebra지저분한 수 하나가 여기저기 계속 나오면 계산하지 말고 문자로 두면 된다. 여기서는 log₂ 5가 스스로 지워지고 답은 그냥 2 다.
- 밑이 40, 20 인 로그 뒤집기
- 지저분한 부분에 이름 붙이기
- 두 곱을 전개하기
- 빼면서 a 가 사라지는 것 보기