AMC 10 · 2021 · #1

학년 6 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
order-of-operationsperfect-squaresfactorsmental-arithmetic identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: order-of-operations
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
2112에서 2021을 뺀 값을 제곱한 뒤 169로 나눈 수의 정확한 값을 구해 다섯 보기 중에서 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
21
(C)
49
(D)
64
(E)
91
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

가장 곧바른 길은 차를 제곱한 뒤 169로 긴 나눗셈을 하는 것인데, 손으로 하기에는 느리고 실수하기 쉽다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 169와 그 차를 하나의 덩어리가 아니라 곱으로 보라고 말한다. 169는 잘 알려진 완전제곱수이기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 겹쳐 있는 세 연산을 나누어 괄호부터 처리하고, 공통인수가 보이면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 네 자리 나눗셈 하나를 작은 나눗셈 둘로 바꾼다.

1STEP 1

괄호부터 계산하기

괄호부터 계산합니다.

((2112-2021)²)/169 = 91²/169
2STEP 2

169와 91을 곱으로 보기

두 수가 13을 공유합니다.

169 = 13 × 13, 91 = 7 × 13
3STEP 3

어려운 나눗셈 하나를 쉬운 둘로 쪼개기

나눗셈을 둘로 쪼갭니다.

91²/169 = (91 × 91)/(13 × 13) = 91/13 × 91/13 = 7 × 7
4STEP 4

남은 것끼리 곱하기

남은 것끼리 곱하면 49입니다.

7 × 7 = 7² = 49
정답
49
빠른 길을 정면 계산과 맞춰 보자. 91² = 8281이고 169 × 49 = 169 × 50 - 169 = 8450 - 169 = 8281이므로, 8281/169은 정말로 49다. 크기로 봐도 자연스럽다. 이 분수는 (91/13)² = 7²이므로 답은 작은 완전제곱수여야 한다. 그러면 7, 21, 91은 한눈에 지워지고, 64 = 8²이 되려면 차가 91이 아니라 8 × 13 = 104여야 한다.
💡핵심 정리

큰 수를 곱해 버리기 전에 공통인수를 찾아보라. 169 = 13 × 13이고 91 = 7 × 13이므로, 분수 전체가 7 × 7로 무너진다.

  • 괄호부터 계산하기
  • 169와 91을 곱으로 보기
  • 어려운 나눗셈 하나를 쉬운 둘로 쪼개기
  • 남은 것끼리 곱하기

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