AMC 10 · 2021 · #8

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

sine-area-formulaisosceles-trianglearea-trianglesangle-sum-triangle identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sine-area-formulaisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

이등변삼각형에 길이가 같은 두 변이 있고 나머지 한 변이 밑변입니다. 밑변에 대한 높이는 꼭대기에서 밑변까지의 수직 거리입니다. 이 삼각형은 둔각삼각형입니다. 같은 두 변을 곱한 값이 밑변에 높이의 두 배를 곱한 값과 같습니다. 두 같은 변 사이의 꼭지각을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

105

(B)

120

(C)

135

(D)

150

(E)

165

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

주어진 조건은 보통 한 식에 함께 놓이지 않는 두 가지를 섞어 놓았습니다. 한쪽은 두 변의 곱이고, 다른 한쪽은 밑변과 높이의 곱입니다. 이것을 푸는 열쇠가 도구 #15(다르게 정리하기)입니다. "밑변과 높이의 두 배의 곱"이라는 표현은 사실 길이에 관한 말이 아니라, 넓이가 모습을 바꾼 것입니다. 넓이는 밑변 곱하기 높이의 1/2 이기 때문입니다. 조건을 넓이에 대한 문장으로 다시 읽고 나면, 같은 넓이를 두 번째 방법으로 — 합동인 두 변과 그 사이 각으로 — 잴 수 있고, 두 값을 같다고 놓을 수 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그것을 식으로 쓸 이름을 마련해 주고, 이어서 변의 길이가 약분되어 사라지게 합니다. 숫자로 된 길이가 하나도 주어지지 않았으니 반드시 그래야 합니다. 마지막은 도구 #3(가능성 지우기)입니다. 나온 식의 후보 각이 둘인데, "둔각"이라는 한 단어가 그중 하나를 지우기 위해 놓여 있습니다.

1STEP 1

네 가지 값에 이름 붙이기

네 값에 이름을 붙입니다.

s · s = b · 2h, 즉 s² = 2bh

2STEP 2

2bh 를 넓이 네 개로 읽기

밑변과 높이의 곱을 넓이로 읽습니다.

넓이 = 1/2bh → bh = 2 × 넓이 → 2bh = 4 × 넓이, 따라서 s² = 4 × 넓이

3STEP 3

같은 넓이를 꼭짓점 쪽에서 재기

꼭짓점 쪽에서 같은 넓이를 잽니다.

넓이 = 1/2 · s · s · sinθ = 1/2s²sinθ

4STEP 4

크기를 나누어 없애기

나누면 크기가 사라집니다.

s² = 4 · 1/2s²sinθ = 2s²sinθ → 1 = 2sinθ → sinθ = 1/2

5STEP 5

사인이 1/2 인 각 모두 찾기

사인이 그 값인 각이 둘입니다.

sin 30° = 1/2 그리고 sin 150° = sin(180° - 30°) = 1/2 → θ = 30° 또는 θ = 150°

6STEP 6

"둔각"이 승자를 고르게 하기

둔각 조건이 150도를 고릅니다.

θ = 30° → (30°, 75°, 75°) — 모두 예각, 탈락; θ = 150° → (150°, 15°, 15°) — 둔각, 채택 → (D)

정답

150

삼각형을 실제로 만들어 직접 확인해 봅시다. s = 1이고 꼭지각이 150° 이면 두 밑각은 각각 15° 입니다. 높이를 따라 삼각형을 반으로 가르면 b = 2sin 75° ≈ 1.9319, h = cos 75° ≈ 0.2588 이므로 b · 2h ≈ 1.9319 · 0.5176 ≈ 1.0000이고, 이는 s² = 1과 일치합니다. 조건이 성립합니다. 나머지 선택지는 한 줄씩이면 지울 수 있습니다. 조건이 2sinθ = 1로 줄어들었으므로, 105°, 120°, 135°, 165° 에서 2sinθ 는 각각 약 1.932, 1.732, 1.414, 0.518이고 어느 것도 1이 아닙니다. 정확히 한 선택지만 살아남으며, 잘 만들어진 객관식 문제라면 그래야 합니다. 하나 더 짚어 둘 점이 있습니다. 문제는 삼각형이 둔각삼각형이라고만 했지 꼭지각이 둔각이라고는 하지 않았습니다. 그래도 결론은 달라지지 않습니다. 탈락시킨 해 30° 는 30-75-75 삼각형을 만드는데 여기에는 둔각이 아예 없으므로, 어느 쪽으로 읽어도 탈락하기 때문입니다.

💡핵심 정리

문제가 밑변에 높이를 곱하고 있다면 사실은 넓이 이야기를 하는 것입니다. 그렇게 다시 쓴 다음, 같은 넓이를 다른 두 변으로 한 번 더 재어 두 값을 같다고 놓으면 나머지는 저절로 풀립니다.

네 가지 값에 이름 붙이기
2bh 를 넓이 네 개로 읽기
같은 넓이를 꼭짓점 쪽에서 재기
크기를 나누어 없애기
사인이 1/2 인 각 모두 찾기
"둔각"이 승자를 고르게 하기