AMC 10 · 2022 · #1
학년 5 arithmetic fraction-arithmeticfraction-multiplication identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
세 층으로 쌓인 연분수의 값을 구해 다섯 보기 중에서 고르세요. 모든 층의 정수 부분이 3입니다.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{31}{10}$
(B)
$\frac{49}{15}$
(C)
$\frac{33}{10}$
(D)
$\frac{109}{33}$
(E)
$\frac{15}{4}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
표현식이 세 겹으로 겹쳐 있어 왼쪽에서 오른쪽으로 풀 수 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 거대한 분수를 똑같은 세 개의 작은 일 — "이미 아는 값을 □ 에 넣어 3 + 1/□ 계산하기" — 로 나눠 줍니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 출발점을 알려 줍니다 — 가장 깊은 층에서 시작해 바깥으로 올라가며 방금 구한 값을 다음 □ 에 넣는 것. 미지수가 없으니 대수(#13)는 과합니다 — 겹친 구조 자체가 길을 보여 줍니다.
1STEP 1
가장 안쪽 층 계산하기
가장 안쪽부터 시작합니다.
3 + 1/3 = 9/3 + 1/3 = 10/3
자연수와 단위분수의 덧셈 — 3을 9/3로 바꿔 더하는 5학년 "다른 분모" 표준 그대로.
5.NF.A.1Work Backwards2STEP 2
역수 취하기
역수는 그냥 뒤집기입니다.
1/ 10/3 = 1 ÷ 10/3 = 1 × 3/10 = 3/10
"1을 분수로 나누기" 는 분수를 뒤집는 것과 같음 — 분수를 나눗셈으로 읽는 5학년 사고.
1을 어떤 분수로 나누는 것은 그 분수를 뒤집는 것과 같다.
▸ 왜?
어떤 수에 그 역수를 곱하면 1이 되므로, 뒤집은 것이 바로 그것을 되돌린다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
분수를 뒤집으면 분자와 분모가 자리를 바꿀 뿐, 세는 것은 달라지지 않는다.
동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.
3STEP 3
한 층 밖으로 나오기
3을 더해 한 층 밖으로 나옵니다.
3 + 3/10 = 30/10 + 3/10 = 33/10
똑같은 5학년 "공통 분모" 기법 — 중간 층이 깔끔한 분수로 정리됩니다.
5.NF.A.1Work Backwards4STEP 4
마지막 층 마무리
마무리하면 33분의 109입니다.
3 + 10/33 = 99/33 + 10/33 = 109/33 → (D)
마지막 한 번 "뒤집고 공통 분모로 더하기" 로 등반 완료 — 처음부터 끝까지 5학년 분수 작업.
5.NF.A.1Identify Subproblems정답
109/33
크기 점검. 각 층이 대략 "3 + 1/(3 보다 조금 큰 수)" 이므로 전체 값은 3 보다 살짝 크고 4 보다는 한참 작아야 합니다. 109/33 ≈ 3.303이 딱 그 범위에 들어옵니다. 선택지 (C) 33/10 = 3.3은 중간 층의 값(한 단계 일찍 멈춘 함정), (D)가 진짜 바깥 층 값으로 정답과 일치.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 5학년 "분모 다른 분수 더하기 + 분수 뒤집기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 안쪽 1/3부터 한 층씩 바깥으로 올라가면 끝!