AMC 10 · 2022 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometrypythagorean-theoremratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

등변사다리꼴에서 두 밑변이 평행하고 위쪽이 더 짧으며 두 다리의 길이가 같습니다. 평면 어딘가에 한 점이 있어 네 꼭짓점까지의 거리가 각각 1, 2, 3, 4입니다. 짧은 밑변을 긴 밑변으로 나눈 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — 사다리꼴을 좌표평면에 놓되 대칭축을 y 축으로, AD 를 x 축 위에 둡니다: A = (-a, 0), D = (a, 0), B = (-b, h), C = (b, h) (b ＜ a). 구하려는 비율은 BC/AD = 2b/2a = b/a. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 대칭 쌍 {A, D}, {B, C}를 각각 따로 다룹니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 거리 제곱식을 쓰고 같은 쌍 안에서 빼면 y, h 항이 깔끔히 소거되어 a, b, x 만 남습니다. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지와 대조해 확정.

1STEP 1

대칭 좌표 놓기

대칭을 살려 좌표를 놓습니다.

A = (-a, 0), D = (a, 0), B = (-b, h), C = (b, h)

2STEP 2

네 거리 식으로 쓰기

네 거리를 식으로 씁니다.

PA² &= (x+a)² + y² = 1 ; PD² &= (x-a)² + y² = 16 ; PB² &= (x+b)² + (y-h)² = 4 ; PC² &= (x-b)² + (y-h)² = 9

3STEP 3

짝지어 빼기

빼면 제곱이 모두 사라집니다.

4ax = -15, 4bx = -5

4STEP 4

두 식의 비 내기

나누면 미지수가 지워집니다.

b/a = -5/-15 = 1/3

5STEP 5

비 읽기

비는 3분의 1입니다.

BC/AD = b/a = 1/3 → (B)

정답

1/3

수치 점검. 거리 1, 2, 3, 4가 매우 비대칭 — P 가 D 보다 A 에 훨씬 가까워 |x| 가 크고, C 보다 B 에 가까움. PA, PD 쌍은 긴 밑변 AD 의 정보를, PB, PC 쌍은 짧은 밑변 BC 의 정보를 담습니다. 차 PA² - PD² = -15, PB² - PC² = -5가 밑변 길이에 비례하고, 그 비율 5/15 = 1/3이 곧 BC/AD. (B) 1/3은 1/4 ~ 3/4 범위 안 — BC 가 AD 보다 눈에 띄게 짧지만 너무 작지는 않다는 직관과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 8학년 좌표 거리만 있으면 풀려요 — 대칭축을 y 축으로 사다리꼴을 좌표에 놓고, 네 거리를 제곱한 뒤 대칭 쌍별로 빼서 y 항을 죽이고, 4bx = -5를 4ax = -15로 나누어 BC/AD = 1/3을 읽어내요.

대칭 좌표 놓기

네 거리 식으로 쓰기

짝지어 빼기

두 식의 비 내기

비 읽기

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