AMC 10 · 2024 · #23

학년 12 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

polynomial-rootsvieta-formulassymmetric-polynomialscomplementary-anglescomplex-polar-formtrigonometric-ratios convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiospolynomial-rootsbinomial-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

네 각 π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16이 등장합니다. 각각의 탄젠트를 제곱한 뒤, 그 제곱값 중 두 개씩을 곱한 네 개의 곱을 더합니다. 곧 첫째와 둘째, 첫째와 셋째, 둘째와 넷째, 셋째와 넷째의 곱을 더한 값입니다. 그 합의 정확한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

여기 나오는 탄젠트 값은 하나하나가 복잡한 이중근호라서, 개별 값을 구해 대입하는 계획은 처음부터 막힌다. 문제를 살려 주는 관찰이 두 개 있고, 둘은 서로 맞물린다. 첫째, 네 수로 만들 수 있는 두 개씩의 곱은 여섯 개인데 합에는 네 개만 들어 있다. 그러니 여섯 개를 모두 더한 뒤 빠진 두 개를 빼는 것이 자연스러운 수순이고, 이러면 한쪽으로 치우친 식이 완전한 대칭식으로 바뀐다. 둘째, 네 각은 π/2보다 작은 π/16의 홀수배 전부이고, 이는 정확히 cos 8θ = 0이라는 조건이다. 이 조건은 tanθ에 대한 하나의 다항방정식으로 바뀌므로, 네 개의 탄젠트 제곱은 사차식 하나의 네 근이 된다. 근의 대칭식은 다항식의 계수가 이미 담고 있는 것이므로, 탄젠트를 하나도 구하지 않고 계수에서 바로 읽어낼 수 있다.

1STEP 1

네 수에 이름 붙이기

묻는 합은 여섯 쌍 중 네 쌍입니다.

E = ab + ac + bd + cd, 여섯 쌍 전부 = {ab, ac, ad, bc, bd, cd}

2STEP 2

여섯 개를 다 더하고 빼기

목표는 전체에서 두 쌍을 뺀 값입니다.

e₂ = ab + ac + ad + bc + bd + cd → E = e₂ - (ad + bc)

3STEP 3

빠진 쌍은 여각끼리다

여각끼리라 두 곱이 각각 1입니다.

tan(π/2 - θ) = 1/tanθ → ad = tan² π/16cot² π/16 = 1, bc = 1, E = e₂ - 2

4STEP 4

8배각을 다항식으로 바꾸기

드무아브르가 사차방정식을 만들어 줍니다.

(cos 8θ)/cos⁸θ = Re(1 + ix)⁸ = 1 - C(8, 2)x² + C(8, 4)x⁴ - C(8, 6)x⁶ + C(8, 8)x⁸

5STEP 5

네 근이 전부인지 확인하기

네 값이 정확히 그 사차식의 근입니다.

u⁴ - 28u³ + 70u² - 28u + 1 = 0 의 근은 정확히 u = a, b, c, d

6STEP 6

계수에서 답 읽어내기

70에서 2를 빼면 68입니다.

(u-a)(u-b)(u-c)(u-d) = u⁴ - e₁u³ + e₂u² - e₃u + e₄ → e₂ = 70, E = 70 - 2 = 68

정답

사차식의 나머지 계수들이 공짜 교차검증이 되어 준다. 상수항은 abcd = 1을 말하는데, 이는 여각 쌍에서 독립적으로도 나온다: abcd = (ad)(bc) = 1 · 1 = 1. 또 u³의 계수와 u의 계수가 둘 다 28인데, 이것도 역수 쌍이 예고하는 바 그대로다. a와 d가 역수이고 b와 c도 역수이므로 다항식은 앞뒤로 읽어도 같아야 한다. 두 검증이 모두 맞으므로 사차식이 옳다. 수치 확인도 맞아떨어진다: a ≈ 0.0396, b ≈ 0.4465, c ≈ 2.2398, d ≈ 25.2741이고 ab ≈ 0.0177, ac ≈ 0.0886, bd ≈ 11.2840, cd ≈ 56.6098이므로 합은 표시한 자리까지 68.00이다. 오답 선택지가 무엇인지도 눈여겨볼 만하다. 70은 e₂ 자체로, 두 쌍이 빠졌다는 사실을 잊었을 때 나오는 값이고, 28은 e₁로 두 개씩의 곱이 아니라 네 수 자체의 합이다. 68에 도착했다는 것은 빠진 두 쌍을 제대로 처리했다는 뜻이다.

💡핵심 정리

합에서 항 몇 개가 빠져 있으면 전부 도로 넣었다가 남는 것을 빼라. 다항식이 거저 내주는 것은 언제나 완전한 대칭합이다.

네 수에 이름 붙이기
여섯 개를 다 더하고 빼기
빠진 쌍은 여각끼리다
8배각을 다항식으로 바꾸기
네 근이 전부인지 확인하기
계수에서 답 읽어내기