경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 1999 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

pattern-recognitionset-partitionsystematic-enumerationsequences-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

다섯 개의 수 1, 4, 7, 10, 13 을 십자 모양의 다섯 칸에 각각 한 번씩 놓되, 가로 줄의 세 수의 합과 세로 열의 세 수의 합이 같도록 합니다. 이 공통 합이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

십자 모양을 그려 보면(도구 #1) 핵심이 보입니다 — 가운데 칸은 가로 줄에도, 세로 열에도 함께 들어가요. 가로 합과 세로 합을 더하면 바깥 네 수는 한 번씩, 가운데 수는 두 번 세어집니다. 그래서 2S = 35 + 가운데 라는 식이 나옵니다 — 도구 #11(변하지 않는 것 찾기). 35는 고정이니 S 는 가운데 수에만 달려 있고, S 를 크게 만들려면 가운데를 가장 큰 수로 두면 됩니다. 양옆에 무엇을 어디 놓을지 일일이 따질 필요가 없어요.

1STEP 1

겹치는 칸 표시하기

십자를 그리면 가로(왼·가운데·오른쪽)와 세로(위·가운데·아래)가 가운데 칸을 공유해요.

공유되는 칸 = 가운데

2STEP 2

가로 합과 세로 합 더하기

가로+세로를 더하면 바깥 네 수는 한 번, 가운데는 두 번, 다섯 수 합은 35.

S + S = (1 + 4 + 7 + 10 + 13) + 가운데 = 35 + 가운데

각 칸이 (가로 합) + (세로 합)에 몇 번 들어가는지 세 보면 가운데만 두 번 들어갑니다. 고정된 총합 35가 변하지 않는 값 — 어떤 수를 어디에 놓든 그대로예요.

가로줄 세 수와 세로줄 세 수를 더하면 다섯 수 전체의 합에 가운데 수를 한 번 더 더한 것과 같다: S + S = 35 + center.

▸ 왜?

가로줄 합은 그 세 칸을 더한 것이고 세로줄 합은 그 세 칸을 더한 것이므로, 두 합을 나란히 놓으면 채워진 여섯 칸이 모두 나열된다 — 팔 네 칸의 수는 각각 한 번씩, 가운데 수는 두 번인데, 가운데 칸은 가로줄의 한 부분이자 세로줄의 한 부분이기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

그 여섯 수 목록은 팔 네 수와 가운데 수 하나로 묶을 수 있고 — 이것이 곧 주어진 다섯 수 전체다 — 가운데 수 하나가 남으므로, 합친 전체는 35 + center가 된다.

▸ 왜?

팔 네 수와 가운데 수 하나를 합치면 칸에 놓인 다섯 수 1, 4, 7, 10, 13 바로 그것이고, 이 다섯 수는 각자가 어디에 놓이든 언제나 고정된 합 35가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

여섯 항을 더할 때 순서를 바꾸고 묶음을 바꿔도 되므로, 팔 네 수와 가운데 수 하나를 35로 모으고 남은 가운데 수 하나를 따로 두어도 전체 합은 변하지 않는다.

▸ 왜?

수를 더하는 순서를 바꿔도 전체 합은 절대 변하지 않는다.

덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.

▸ 왜?

어느 수를 먼저 묶어 더하는지를 바꿔도 전체 합은 절대 변하지 않는다.

덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.

6.EE.A.2Work Backwards

3STEP 3

공통 합 구하기

식을 S 에 대해 정리합니다. 양변을 2로 나눕니다.

2S = 35 + 가운데 → S = (35 + 가운데)/2

4STEP 4

가운데 수 가장 크게 잡기

가운데를 크게 하려고 가장 큰 13을 넣으면 S = $\frac{35+13}{2}$ = 24. 48이 짝수라 정수예요.

가운데 = 13 → S = (35 + 13)/2 = 48/2 = 24

5STEP 5

나머지 수 배치해 확인하기

남은 {1, 4, 7, 10}을 합 11 인 (1,10)·(4,7)로 나누면 가로·세로 모두 24 → (D).

가로: 1 + 13 + 10 = 24, 세로: 4 + 13 + 7 = 24 → (D)

정답

다른 선택지도 같은 식 S =

\frac{35 + 가운데}{2}

로 점검합니다. 가운데 = 1 → S = 18, 가운데 = 7 → S = 21, 가운데 = 13 → S = 24. 가운데가 4 또는 10이면 35 + 가운데 가 홀수가 되어 S 가 정수가 아니므로 그 가운데로는 만들 수 없습니다. 따라서 가능한 공통 합은 18, 21, 24 뿐이고 최댓값 24가 (D)와 일치합니다. (E) 30은

\frac{35 + 13}{2}

= 24를 넘으므로 어떤 가운데로도 도달 불가 — (D)가 확정됩니다.

💡핵심 정리

가로 합과 세로 합을 더하면 가운데 칸이 두 번 세어져요. 그래서 2S = 35 + 가운데. S 를 가장 크게 하려면 가장 큰 수 13을 가운데에 놓으면 됩니다 — 이때 S = 24.

겹치는 칸 표시하기
가로 합과 세로 합 더하기
공통 합 구하기
가운데 수 가장 크게 잡기
나머지 수 배치해 확인하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

겹치는 칸 표시하기

가로 합과 세로 합 더하기

공통 합 구하기

가운데 수 가장 크게 잡기

나머지 수 배치해 확인하기

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