경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2006 · #25

학년 6 number-theory

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

prime-numbersparitymean-median-mode-rangeset-partition identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: prime-numbersparity

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

탁자 위에 카드 세 장이 놓여 있고, 보이는 면에는 44, 59, 38 이 적혀 있습니다. 각 카드의 가려진 면에는 소수가 적혀 있고, 세 카드의 양면 합(보이는 수 + 가려진 수)은 모두 같습니다. 가려진 세 소수의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

가려진 소수 자체는 모르지만, 보이는 수가 짝수냐 홀수냐(패리티)는 이미 정해져 있습니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 잡아내는 단서는 바로 이 패리티예요. 44 + h₁과 38 + h₃은 h₁, h₃의 패리티를 그대로 따르고, 59 + h₂는 h₂의 패리티를 뒤집습니다. 세 합이 모두 같아야 하니 패리티도 하나로 통일되어야 하고, 짝수 소수는 2 단 하나뿐이므로 그 자리가 한 카드로 고정됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 공통합 S 에 이름을 붙이면 나머지 두 소수는 단순한 뺄셈으로 떨어집니다.

1STEP 1

각 수의 홀짝 확인하기

보이는 수의 패리티를 읽으면 44와 38은 짝수, 59는 홀수 — 홀로 홀수인 59가 열쇠입니다.

44 (짝수), 59 (홀수), 38 (짝수)

2STEP 2

가운데 카드 찾기

59의 가려진 소수가 홀수라면 두 카드에 짝수 소수가 필요한데, 짝수 소수는 2 뿐이라 2는 59 카드에 놓입니다.

h₂가 짝수, 그리고 짝수 소수는 2 뿐이므로 → h₂ = 2

"짝수 소수는 2 하나뿐" 이라는 사실이 결정적입니다 — 짝수 자리가 한 카드로 고정되고, 홀수가 적힌 59 카드만이 그 자리를 받을 수 있습니다.

59가 적힌 카드의 숨겨진 소수는 반드시 짝수여야 하며, 그래서 그 값은 2로 정해진다.

▸ 왜?

세 카드의 합은 모두 같으므로 하나의 수 S이고, 따라서 같은 홀짝성을 가진다 — 모두 짝수이거나 모두 홀수이다.

▸ 왜?

문제는 44 + h1 = 59 + h2 = 38 + h3로 두므로, 이 등식들을 이어 붙이면 각 카드의 합이 같은 값 S가 된다.

같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.

▸ 왜?

이 공통 홀짝성 S는 반드시 홀수여야 한다. 만약 S가 짝수라면 서로 다른 짝수 소수 두 개가 동시에 필요한데, 그런 것은 존재하지 않기 때문이다.

▸ 왜?

S가 짝수라면 짝수인 눈에 보이는 수 44와 38은 각각 짝수인 숨겨진 소수가 필요하다. 짝수 더하기 짝수는 짝수이기 때문이다.

▸ 왜?

짝수란 2를 인수로 갖는 수이고, 각각 2를 인수로 갖는 두 수를 더해도 그 인수가 유지되므로 짝수 더하기 짝수는 짝수로 남는다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

짝수 소수는 오직 하나뿐이므로 44와 38이 각각 서로 다른 짝수 소수와 짝지을 수 없고, 여섯 수가 모두 다르다는 조건이 이를 막는다.

▸ 왜?

짝수라는 것은 2를 인수로 갖는다는 뜻이므로, 2보다 큰 짝수는 2를 진약수로 가져 합성수가 된다 — 그래서 2만이 유일한 짝수 소수이다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

S가 홀수이면, 홀수인 59가 적힌 카드만이 짝수인 숨겨진 소수를 가지며, 짝수 카드 44와 38은 홀수인 숨겨진 소수를 유지한다.

▸ 왜?

홀수 더하기 짝수는 홀수이고 홀수 더하기 홀수는 짝수이므로, 홀수 S에 이르려면 59에는 짝수 짝이, 44와 38에는 홀수 짝이 필요하다.

▸ 왜?

홀수는 2를 인수로 하는 부분을 넘어 1이 남는 수이므로, 두 수의 합은 한쪽이 짝수이고 다른 쪽이 홀수일 때에만 홀수가 된다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

59 카드의 그 짝수 숨겨진 소수는 오직 2일 수밖에 없다.

▸ 왜?

짝수라는 것은 2를 인수로 갖는다는 뜻이므로, 2보다 큰 모든 짝수는 2로 나누어져 합성수가 된다. 따라서 2가 유일한 짝수 소수이다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

4.OA.B.4Work Backwards

3STEP 3

공통 합 구하기

2가 59 카드에 놓였으니 공통합이 바로 나옵니다: 59 + 2 = 61.

S = 59 + 2 = 61

4STEP 4

나머지 두 소수 구하기

61 에서 보이는 수를 각각 빼면 61 - 44 = 17, 61 - 38 = 23, 둘 다 소수입니다.

h₁ = 61 - 44 = 17 (소수), h₃ = 61 - 38 = 23 (소수)

5STEP 5

숨은 소수 평균 구하기

세 가려진 소수의 평균: $\frac{17 + 2 + 23}{3}$ = $\frac{42}{3}$ = 14.

(h₁ + h₂ + h₃)/3 = (17 + 2 + 23)/3 = 42/3 = 14 → (B)

정답

여섯 수가 모두 다른지, 소수가 정말 소수인지 검토합니다. 보이는 수 {44, 59, 38}, 가려진 수 {17, 2, 23} — 여섯 수 모두 서로 다르고 17, 2, 23은 전부 소수. 카드별 합도 44 + 17 = 61, 59 + 2 = 61, 38 + 23 = 61로 모두 같습니다. 평균 14는 선택지 {13, 14, 15, 16, 17} 안에 들어가고, 2와 23의 중간이 12.5 인데 17과 23 쪽의 무게가 평균을 위로 올려 14가 되는 것도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

패리티가 자물쇠 역할을 합니다 — 세 카드 합의 패리티는 하나로 맞춰져야 하고, 짝수 소수는 2 뿐이에요. 그 사실 하나로 2가 들어갈 카드는 홀수 59가 적힌 가운데 카드로 고정되고, 나머지 두 소수는 뺄셈으로 떨어집니다. 평균을 내면 14.

각 수의 홀짝 확인하기
가운데 카드 찾기
공통 합 구하기
나머지 두 소수 구하기
숨은 소수 평균 구하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

각 수의 홀짝 확인하기

가운데 카드 찾기

공통 합 구하기

나머지 두 소수 구하기

숨은 소수 평균 구하기

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