AMC 8 · 2006 · #25

학년 6 number-theory

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

prime-numbersparitymean-median-mode-rangeset-partition identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: prime-numbersparity

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

탁자 위에 카드 세 장이 놓여 있고, 보이는 면에는 44, 59, 38 이 적혀 있습니다. 각 카드의 가려진 면에는 소수가 적혀 있고, 세 카드의 양면 합(보이는 수 + 가려진 수)은 모두 같습니다. 가려진 세 소수의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

가려진 소수 자체는 모르지만, 보이는 수가 짝수냐 홀수냐(패리티)는 이미 정해져 있습니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 잡아내는 단서는 바로 이 패리티예요. 44 + h₁ 과 38 + h₃ 은 h₁, h₃ 의 패리티를 그대로 따르고, 59 + h₂ 는 h₂ 의 패리티를 뒤집습니다. 세 합이 모두 같아야 하니 패리티도 하나로 통일되어야 하고, 짝수 소수는 2 단 하나뿐이므로 그 자리가 한 카드로 고정됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 공통합 S 에 이름을 붙이면 나머지 두 소수는 단순한 뺄셈으로 떨어집니다.

1STEP 1

보이는 수의 패리티를 읽으면 44 와 38 은 짝수, 59 는 홀수 — 홀로 홀수인 59 가 열쇠입니다.

44 (짝수), 59 (홀수), 38 (짝수)

2STEP 2

59 의 가려진 소수가 홀수라면 두 카드에 짝수 소수가 필요한데, 짝수 소수는 2 뿐이라 2 는 59 카드에 놓입니다.

h₂ 가 짝수, 그리고 짝수 소수는 2 뿐이므로 → h₂ = 2

3STEP 3

2 가 59 카드에 놓였으니 공통합이 바로 나옵니다: 59 + 2 = 61.

S = 59 + 2 = 61

4STEP 4

61 에서 보이는 수를 각각 빼면 61 - 44 = 17, 61 - 38 = 23, 둘 다 소수입니다.

h₁ = 61 - 44 = 17 (소수), h₃ = 61 - 38 = 23 (소수)

5STEP 5

세 가려진 소수의 평균: $\frac{17 + 2 + 23}{3}$ = $\frac{42}{3}$ = 14.

\frac{h₁ + h₂ + h₃}{3}

\frac{17 + 2 + 23}{3}

\frac{42}{3}

= 14 → (B)

정답

여섯 수가 모두 다른지, 소수가 정말 소수인지 검토합니다. 보이는 수 {44, 59, 38}, 가려진 수 {17, 2, 23} — 여섯 수 모두 서로 다르고 17, 2, 23 은 전부 소수. 카드별 합도 44 + 17 = 61, 59 + 2 = 61, 38 + 23 = 61 로 모두 같습니다. 평균 14 는 선택지 {13, 14, 15, 16, 17} 안에 들어가고, 2 와 23 의 중간이 12.5 인데 17 과 23 쪽의 무게가 평균을 위로 올려 14 가 되는 것도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

패리티가 자물쇠 역할을 합니다 — 세 카드 합의 패리티는 하나로 맞춰져야 하고, 짝수 소수는 2 뿐이에요. 그 사실 하나로 2 가 들어갈 카드는 홀수 59 가 적힌 가운데 카드로 고정되고, 나머지 두 소수는 뺄셈으로 떨어집니다. 평균을 내면 14.

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