경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #13

학년 6 arithmetic
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery
systems-of-equationslinear-equations-two-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
상자 세 개를 두 개씩 짝지어 무게를 재면 짝의 합이 각각 122, 125, 127 파운드가 나옵니다. 세 상자의 무게를 모두 합하면 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
160
(B)
170
(C)
187
(D)
195
(E)
354

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변하지 않는 것 찾기

문제는 각 상자의 무게가 아니라 "총합"만 묻고 있어요. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)은 어떤 짝을 골라 보든 흔들리지 않는 양을 찾으라는 신호입니다. 여기서 그 불변은 횟수입니다 — 세 짝의 무게를 모두 더하면 각 상자가 정확히 두 번씩 세어집니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 상자 무게를 x, y, z 로 부르면 이 관찰을 깔끔한 식으로 적을 수 있고, 총합 x + y + z 는 2로 나누기만 하면 바로 나옵니다. 각 상자를 따로 구할 필요가 없습니다.

1STEP 1

상자 무게 이름 붙이기

세 상자 무게를 x, y, z 로 두면, 짝을 잰 결과가 각각 한 식이 됩니다.

x + y = 122, x + z = 125, y + z = 127
2STEP 2

세 식 더하기

세 식을 모두 더하면 왼쪽에서 x, y, z 가 각각 정확히 두 번씩 나옵니다.

(x + y) + (x + z) + (y + z) = 122 + 125 + 127
3STEP 3

동류항 정리하기

동류항을 정리하면 왼쪽은 2(x + y + z), 오른쪽은 더해서 374 입니다.

2x + 2y + 2z = 374 → 2(x + y + z) = 374
4STEP 4

2로 나누기

양변을 2로 나누면 총 무게 x + y + z = 187 파운드입니다.

x + y + z = 374/2 = 187 → (C)
정답
187
각 상자 무게를 구해 다시 확인해 봅시다. x + z = 125 에서 x + y = 122를 빼면 z - y = 3. 이를 y + z = 127와 합치면 z = 65, y = 62, 그리고 x = 60. 합은 60 + 62 + 65 = 187. 짝 무게도 60 + 62 = 122, 60 + 65 = 125, 62 + 65 = 127로 모두 맞습니다. 또한 모든 상자가 60 ~ 65 파운드라 한 상자만으로는 100 파운드가 안 되니, 하먼 씨가 짝으로 잰 이유도 자연스럽습니다.
💡핵심 정리

모든 짝을 다 재면 짝 무게의 합은 각 상자를 두 번씩 더한 값 — 그러니 짝 무게 합의 절반이 정답입니다.

  • 상자 무게 이름 붙이기
  • 세 식 더하기
  • 동류항 정리하기
  • 2로 나누기

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