경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2025 · #23
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
조건 (I)과 (II)를 합치는 작은 문제가 핵심입니다 — N 이 99로 끝나면 N + 1 = k²은 00으로 끝나야 하므로 k 가 10의 배수로 강제됩니다 (도구 #7: 작은 문제로 쪼개기). 그러면 수천 개 후보가 단 일곱 개의 k 값 40, 50, …, 100으로 줄어드는데, 이 후보들을 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 순서대로 적어 봅니다. 조건 (III) 검사는 k² - 1 = (k-1)(k+1) 라는 인수분해를 이용 — k-1과 k+1이 둘 다 소수여야 한다는 깔끔한 기준이 나오므로 도구 #3(가능성 지우기)으로 합성수가 나오는 k 를 차례차례 지웁니다. 곱셈과 소수 판정 외에 대수는 전혀 필요하지 않습니다.
두 조건 합치기
99로 끝나면 N + 1은 00으로 끝나고, 00으로 끝나는 제곱수의 뿌리는 10의 배수여야 하므로 k = 10m 입니다.
끝자리 0의 개수에 관한 자릿값 패턴은 5학년 표준 — 00으로 끝나는 제곱수는 0으로 끝나는 수에서만 나옵니다.
5.NBT.A.2Identify Subproblems가능한 제곱수 좁히기
1001 ≤ k² ≤ 10000이고 k 가 10의 배수이므로 후보는 k = 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 뿐입니다.
40², 50², … 같은 여러 자릿수 곱셈은 5학년 유창성 표준으로 후보 범위 확인에 충분합니다.
5.NBT.B.5Make A Systematic List합차 공식으로 인수분해하기
N = k² - 1 = (k-1)(k+1) 로 분해하면, k-1과 k+1이 모두 소수일 때만 N 이 두 소수의 곱입니다.
(k-1)(k+1) = k²-1 확인은 단순 곱셈이고, "소수인가?" 판정은 4학년 소수·합성수 표준 그대로입니다.
그 후보 수는 완전제곱수보다 1 작으므로 (k-1)(k+1)와 같고, 따라서 k-1과 k+1이 둘 다 소수일 때에만 정확히 두 소수의 곱이 된다.
▸ 왜?
그 수는 완전제곱수보다 1 작으므로 k²-1 꼴이며, k²-1은 곱 (k-1)(k+1)로 다시 쓸 수 있다.
▸ 왜?
(k-1)(k+1)을 전개하면 k · k + k · 1 - 1 · k - 1 · 1 = k²-1이 되는데, 합과 합의 곱은 각 부분을 따로 곱해서 더하면 되기 때문이다.
▸ 왜?
그 수는 두 자연수 k-1과 k+1을 곱한 것과 같으므로, 그 수의 소인수 전체 목록은 k-1의 소인수와 k+1의 소인수를 합친 것과 정확히 같다.
▸ 왜?
1보다 큰 모든 정수는 오직 한 가지 방법으로만 소수의 곱으로 쪼개지므로, 그 합친 목록이 곧 그 수의 유일한 소인수분해다. 따라서 그 수가 정확히 두 소수의 곱이 되는 경우는 k-1과 k+1이 각각 소수 하나씩만 내놓을 때뿐이다 — 즉 둘 다 이미 소수일 때인데, 합성수인 인수는 소수를 하나보다 많이 내놓아 개수를 둘보다 크게 만들기 때문이다.
합성수인 경우 지우기
살아남는 것은 k = 60 하나뿐 — 59와 61이 모두 소수라 N = 59 × 61 = 3599; 나머지 k 는 이웃이 합성수입니다.
각 k-1, k+1을 시험 나눗셈으로 소수 판정하는 것은 4학년 "소수·합성수 판별" 작업 그대로입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities남은 수 세기
조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 N = 3599 = 59 × 61 하나뿐 — 개수는 1, 선택지 (B).
체계적 목록에서 살아남은 후보의 수를 세는 것은 4학년 수준의 셈입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 자릿값·끝자리 0의 패턴과 4학년 때 배운 "소수·합성수 판별" 만 알면 풀 수 있어요!
- 두 조건 합치기
- 가능한 제곱수 좁히기
- 합차 공식으로 인수분해하기
- 합성수인 경우 지우기
- 남은 수 세기
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