경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 1999 · #24

학년 5 number-theory
유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue
modular-arithmeticunits-digit-trackingexponentspattern-recognitionparity modular-arithmeticpattern-recognitionmodular-arithmetic-mod-10 ↑ 선수 지식: exponentsmodular-arithmetic
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문제
1999²⁰⁰⁰ 을 5 로 나눈 나머지를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

1999²⁰⁰⁰을 직접 계산할 수는 없으니, 도구 #9(더 쉬운 관련 문제)로 다룰 수 있는 문제로 바꿉니다 — 9²⁰⁰⁰의 일의 자리만 보면 충분합니다. 밑수 1999의 일의 자리가 9 이기 때문이고, 일의 자리만 같으면 5로 나눈 나머지도 같습니다. 그 다음은 도구 #5(패턴 찾기)가 마무리합니다 — 9¹, 9², 9³, … 의 일의 자리는 9, 1, 9, 1, … 로 길이 2의 주기. 짝수 지수에는 1이 오고, 1을 5로 나눈 나머지는 1. 도구 #13(대수) 이나 합동식 표기는 일부러 피했습니다 — 패턴만으로 충분합니다.

1STEP 1

일의 자리로 줄이기

5로 나눈 나머지는 일의 자리만 결정하므로, 1999²⁰⁰⁰의 일의 자리만 구하면 됩니다.

1999²⁰⁰⁰ mod 5 = (1999²⁰⁰⁰의 일의 자리) mod 5
2STEP 2

밑을 일의 자리로 바꾸기

밑수의 일의 자리만 중요하므로, 1999²⁰⁰⁰의 일의 자리는 9²⁰⁰⁰ 의 일의 자리와 같습니다.

1999²⁰⁰⁰의 일의 자리 = 9²⁰⁰⁰의 일의 자리
3STEP 3

9의 거듭제곱 주기 찾기

9의 거듭제곱의 일의 자리를 나열하면 9, 1, 9, 1, … 로 주기 2로 반복합니다.

9¹ = 9, 9² = 81, 9³ = 729, 9⁴ = 6561 — 일의 자리는 9, 1, 9, 1, …
4STEP 4

지수 2000에서 주기 읽기

홀수 지수는 9, 짝수는 1; 2000은 짝수이므로 9²⁰⁰⁰의 일의 자리는 1.

2000은 짝수 → 9²⁰⁰⁰의 일의 자리 = 1
5STEP 5

5로 나눈 나머지 구하기

일의 자리가 1 인 수는 5로 나누면 나머지가 1 — 이것이 정답입니다.

1 ÷ 5 = 0 나머지 1 → (B)
정답
1
실제로 계산 가능한 작은 지수로 패턴을 확인해 봅니다. 9² = 81은 일의 자리가 1, 81 = 16 × 5 + 1로 나머지 1. 9⁴ = 6561도 일의 자리가 1, 6561 = 1312 × 5 + 1로 나머지 1. 9의 모든 짝수 거듭제곱이 나머지 1을 주므로 답 (B) 1과 일관됩니다. 참고로 (A) 0이 되려면 일의 자리가 0 또는 5 여야 하고, (E) 4가 되려면 4 또는 9 여야 하는데 둘 다 이 주기에 등장하지 않습니다.
💡핵심 정리

1999²⁰⁰⁰을 다 계산할 필요는 없어요 — 일의 자리만 따라가면 됩니다. 9의 거듭제곱은 일의 자리가 9, 1, 9, 1, … 로 반복되니까 짝수 지수면 항상 1로 끝나고, 1을 5로 나눈 나머지는 1입니다.

  • 일의 자리로 줄이기
  • 밑을 일의 자리로 바꾸기
  • 9의 거듭제곱 주기 찾기
  • 지수 2000에서 주기 읽기
  • 5로 나눈 나머지 구하기

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