경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 1999 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Nested-Similar-Figure Area Sum

area-trianglessequences-geometricsimilar-figurespattern-recognitionfraction-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglesfraction-arithmeticsequences-geometric

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

직각이등변삼각형 △ ACG 는 직각이 C 에 있고 두 변의 길이가 AC = CG = 6 입니다. 각 변의 중점을 이으면 작은 삼각형 네 개가 만들어지고, 그중 한 개를 색칠합니다. 그다음 꼭짓점 G 를 포함하는 위쪽 작은 삼각형 안에서 같은 "중점 잇고 색칠" 작업을 반복합니다. 이 과정을 100 번 했을 때 색칠된 삼각형들의 넓이 합과 가장 가까운 정수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

문제 그림에 이미 색칠된 삼각형 세 개가 그려져 있어요. 도구 #1(그림 그리기)로 그림에서 각 변의 길이를 바로 읽어내고, 도구 #5(패턴 찾기)로 매 회차마다 변의 길이가 절반이라 넓이가 1/4로 줄어드는 깨끗한 패턴을 잡습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 "100 회" 를 "무한히 많은 회" 로 바꿔 줘요. (1/4)¹⁰⁰은 어떤 반올림 오차보다도 훨씬 작으니 잘라낸 꼬리는 무시할 수 있고, 9/2 + 9/8 + 9/32 + … 의 끝없는 패턴 합이 정답인 "가장 가까운 정수" 를 그대로 줍니다.

1STEP 1

첫 색칠 삼각형 넓이 구하기

△ ACG 넓이는 18, 첫 색칠 △ BDC 는 C 직각·두 변 3이라 넓이 $\frac{9}{2}$ .

[△ BDC] = 1/2(3)(3) = 9/2

2STEP 2

다음 삼각형 넓이 구하기

△ JDG(두 변 3)로 넘어가 중점을 이으면 두 변 $\frac{3}{2}$ 인 △ KED, 넓이 $\frac{9}{8}$ .

[△ KED] = 1/2(3/2)(3/2) = 9/8

3STEP 3

공비 찾기

연속한 두 넓이를 비교: ( $\frac{9}{8}$ )/( $\frac{9}{2}$ ) = $\frac{1}{4}$ , 매 넓이는 직전의 $\frac{1}{4}$ 배 — 일정한 비.

9/8/9/2 = 2/8 = 1/4

4STEP 4

부분합 더해 보기

넓이 $\frac{9}{2}$ , $\frac{9}{8}$ , … 각각 직전의 $\frac{1}{4}$ , 부분 합 4.5, 5.625, 5.906, 5.977, … 이 한 값에 다가갑니다.

9/2 = 4.5, +9/8 = 5.625, +9/32 ≈ 5.906, +9/128 ≈ 5.977

5STEP 5

무한합 구하기

100 회를 무한 번으로: 패턴이 $\frac{1}{4}$ 축척으로 반복되니 총합은 T = $\frac{9}{2}$ + ( $\frac{1}{4}$ )T 를 만족, T = 6.

T - 1/4 T = 9/2 → 3/4 T = 9/2 → T = 6

6STEP 6

100번 합과 무한합 비교하기

100 회에서 멈추면 6·( $\frac{1}{4}$ )¹⁰⁰ 만큼의 꼬리만 빠져 — $\frac{1}{2}$ 보다 훨씬 작으니 총합은 6 바로 아래, 가장 가까운 정수는 6.

S₁₀₀ = 6 - 6 · (1/4)¹⁰⁰ ≈ 6 → (A)

정답

그림과 무한 합을 비교해 확인해 봅시다. 첫 번째 색칠 삼각형 넓이만 해도

\frac{9}{2}

= 4.5 라 벌써 6의 대부분을 차지해요. 두 번째까지 더하면 5.625, 세 번째까지 5.906, 네 번째까지 약 5.977 — 매번 6까지 남은 간격의

\frac{3}{4}

가 줄어드니 총합은 결코 6에 닿지 않습니다. 100 회 후 남은 간격은 6 · (

\frac{1}{4}

)¹⁰⁰으로 사실상 0. 따라서 총합은 6 보다 살짝 작고, 가장 가까운 정수는 6, 답 (A)와 일치합니다. 큰 삼각형 전체 넓이가 18이고 색칠 삼각형들은 G 쪽으로 가는 가느다란 계단 모양을 채우니, 약 18의

\frac{1}{3}

이라는 결과는 직관적으로도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

회차마다 색칠 삼각형 넓이가 이전의 $\frac{1}{4}$ 로 줄어들어, 부분 합이 4.5 → 5.625 → 5.906 → 5.977 → … 처럼 매번 6까지 남은 간격의 $\frac{3}{4}$ 만큼 좁혀집니다. 절대 6에 닿지는 않지만 100 회 후 남은 간격은 사실상 0 — 총 넓이는 사실상 6, 답 (A).

첫 색칠 삼각형 넓이 구하기
다음 삼각형 넓이 구하기
공비 찾기
부분합 더해 보기
무한합 구하기
100번 합과 무한합 비교하기

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