경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2025 · #20

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share

sequences-geometricratio-proportionfraction-multiplicationpattern-recognition easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

사리카, 데브, 라지브가 이 순서를 반복하며 차례로 "지금 남아 있는 치즈의 절반" 을 먹습니다. 사리카 → 데브 → 라지브 → 사리카 → ... 순서가 끝없이 이어지고, 치즈가 너무 작아져서 보이지 않을 때까지 계속됩니다. 사리카가 모든 차례를 합쳐 먹는 양은 원래 치즈 덩어리의 몇 분의 몇인지 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{7}$

(B)

$\frac{3}{5}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{3}{4}$

(E)

$\frac{7}{8}$

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

1/2 + 1/16 + 1/128 + … 같은 무한급수를 직접 더하는 방법은 고등학교 수준입니다. 그 대신 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 사리카-데브-라지브 한 주기(cycle)만 통덩어리에 대해 직접 계산해 봅니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기)로 "한 주기 안에서 세 사람이 먹는 양이 언제나 4 : 2 : 1의 일정한 비율을 이룬다" 는 사실이 보입니다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기)으로 "사리카의 끝없는 조각들을 무한히 더한다" 가 아니라 "세 사람이 합쳐 덩어리 전체를 먹으니, 전체를 4 : 2 : 1 비율로 나눈다" 라는 관점으로 바꿉니다. 이렇게 하면 무한급수 없이 초등학교 수준의 비례 추론만으로 답이 나옵니다.

1STEP 1

한 바퀴 돌려 보기

크기 1 인 통덩어리로 한 주기를 돌립니다. 사리카 $\frac{1}{2}$ , 데브 $\frac{1}{4}$ , 라지브 $\frac{1}{8}$ 를 먹고 $\frac{1}{8}$ 이 남습니다.

사리카 = 1/2, 데브 = 1/4, 라지브 = 1/8 → 남은 양 = 1/8

2STEP 2

세 사람 몫 비교하기

세 조각에 8을 곱하면 사리카 4, 데브 2, 라지브 1, 남는 1 칸. 즉 한 주기는 4 : 2 : 1 로 나뉩니다.

1/2 : 1/4 : 1/8 = 4 : 2 : 1

3STEP 3

비가 그대로인지 확인하기

이 4 : 2 : 1 분배는 매 주기 그대로 반복됩니다. 뒤 주기는 크기만 줄어든 같은 모양이죠. 그래서 전체 합도 같은 비율입니다.

k 번째 주기: 사리카:데브:라지브 = 4:2:1 (항상)

4STEP 4

비대로 전체 나누기

관점을 바꿔, 조각을 더하는 대신 덩어리 전체를 4 : 2 : 1로 나눕니다. 합이 4 + 2 + 1 = 7 이니 한 칸은 $\frac{1}{7}$ 입니다.

4 + 2 + 1 = 7 → 1 부분 = 1/7의 덩어리

전체를 정해진 비율로 나누는 것은 무한급수 없이도 답을 주는 6학년 "비례로 분배하기" 그대로입니다.

사리카가 먹는 끝없는 조각들을 하나씩 모두 더하는 대신, 블록 전체를 세 사람에게 하나의 고정된 비율 4:2:1로 한 번에 나눠 주면 되고, 사리카의 전체 몫은 그 비율에서 그녀가 차지하는 조각이다.

▸ 왜?

세 사람이 함께 블록 전체를 먹는다: 남은 치즈는 매 차례마다 절반으로 잘려 어떤 크기보다도 작게 줄어들고, 결국 먹히지 않고 남는 치즈는 없다.

▸ 왜?

각 조각은 하나의 원래 블록에서 겹침도 빈틈도 없이 떼어 낸 서로 다른 조각이고, 마지막에 남는 것이 없으므로, 모든 조각을 다시 더하면 반드시 블록 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

모든 주기는 자기 치즈를 똑같은 4:2:1 비율로 나누므로, 모든 주기에 걸친 세 사람의 누적 몫도 같은 4:2:1 비율로 유지된다.

▸ 왜?

한 주기에서 각 사람은 바로 앞 사람이 남긴 것의 절반을 먹으므로, 세 조각은 1/2, 1/4, 1/8이고, 셋을 모두 8배 하면 4:2:1로 비교됨을 알 수 있다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

이후의 각 주기는 더 작아진 블록에서 사리카-데브-라지브 순서를 똑같이 다시 시작하므로, 동일한 4:2:1 분할을 반복한다.

주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

▸ 왜?

세 몫 4, 2, 1은 4+2+1=7개의 똑같은 조각을 이루고 이들이 함께 블록 전체를 채우므로, 한 조각은 블록의 1/7이고 사리카의 4조각은 블록의 4/7이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

6.RP.A.3Change Focus Count The Complement

5STEP 5

사리카의 몫 구하기

사리카는 7 칸 중 4 칸의 주인이니 덩어리의 $\frac{4}{7}$ 을 먹습니다 — 선택지 (A).

사리카의 총량 = 4/(4+2+1) = 4/7 → (A)

정답

4/7

사리카는 매번 가장 먼저 "지금 남은 것의 절반" 을 가져가므로 셋 중 가장 많이 먹어야 합니다. 다만 다른 두 사람도 매 주기마다 함께 먹으므로

\frac{2}{3}

이상이 되기는 어렵습니다.

\frac{4}{7}

≈ 0.571은

\frac{1}{3}

과

\frac{2}{3}

사이에 자연스럽게 자리 잡는 반면, 선택지 (C)

\frac{2}{3}

나 (D)

\frac{3}{4}

은 데브와 라지브의 몫을 너무 좁힙니다. 부분합으로도 확인됩니다:

\frac{1}{2}

\frac{1}{16}

\frac{9}{16}

= 0.5625, 한 항 더 더하면

\frac{73}{128}

≈ 0.5703 — 정확히

\frac{4}{7}

≈ 0.5714로 수렴합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "4 : 2 : 1 비율로 전체를 나누는" 비례 추론만 알면 풀 수 있어요!

한 바퀴 돌려 보기
세 사람 몫 비교하기
비가 그대로인지 확인하기
비대로 전체 나누기
사리카의 몫 구하기

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한 바퀴 돌려 보기

세 사람 몫 비교하기

비가 그대로인지 확인하기

비대로 전체 나누기

사리카의 몫 구하기

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