경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2007 · #9
학년 4 logic
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AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
(4,4)는 4 열에 있습니다. 규칙에 따라 4 열에는 1, 2, 3, 4가 모두 들어가야 하죠. 4 열의 네 칸 중 세 칸은 이미 숫자가 있거나, 같은 행에 같은 숫자가 있어 후보가 막힙니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 (4,4)의 후보를 하나씩 지우면 결국 한 숫자만 남습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 행·열 충돌을 한눈에 보기 위해 격자를 옆에 두는 역할입니다. 대수는 필요 없고, 행·열 점검만으로 충분합니다.
4번 열 표시하기
격자를 그리고 4 열에 집중합니다. 구하려는 칸은 (4,4) 입니다.
격자를 직접 그리면 행·열 규칙이 눈에 들어옵니다. 각 행과 각 열은 1~4를 정확히 한 번씩 가져야 한다는 3학년 패턴 인식 단계입니다.
3.OA.D.9Draw A Diagram이미 있는 4 제외하기
(3,4)가 이미 4 이므로 (1,4), (2,4), (4,4) 에는 1, 2, 3 이 순서만 다르게 들어갑니다.
이미 자리 잡은 숫자를 빼면 남은 빈 칸의 후보가 {1, 2, 3}으로 줄어듭니다.
4.OA.C.5Eliminate Possibilities열에서 2의 자리 찾기
1 행·2 행에 이미 2가 있어 (1,4) ≠ 2, (2,4) ≠ 2, (3,4)도 찼으므로 2의 자리는 (4,4) = 2 뿐입니다.
한 열을 골라서 숫자 2가 못 들어가는 칸을 차례로 지우면, 남는 칸이 자동으로 그 숫자의 자리가 됩니다.
네 번째 열에서 숫자 2가 들어갈 수 있는 칸은 맨 아래 칸 하나뿐이다.
▸ 왜?
네 번째 열에서 맨 아래를 뺀 위쪽 세 칸은 모두 2가 될 수 없는데 열에는 2가 반드시 한 번 들어가야 하므로, 2는 맨 아래 칸으로 몰린다.
▸ 왜?
네 번째 열은 숫자 1, 2, 3, 4를 각각 정확히 한 번씩 보여야 하므로 2도 그 안 어딘가에 반드시 나타난다.
▸ 왜?
열의 네 칸은 네 숫자와 일대일로 짝지어지므로, 2를 포함한 모든 숫자가 열에서 각자의 칸을 갖는다.
▸ 왜?
위쪽 빈 두 칸은 2가 될 수 없다. 각 칸이 속한 행에 이미 2가 있고, 한 행은 같은 숫자를 두 번 쓸 수 없기 때문이다.
▸ 왜?
각 행은 네 칸을 네 숫자와 일대일로 짝지으므로, 이미 놓인 숫자는 두 번째 칸을 차지할 수 없다.
▸ 왜?
남은 위쪽 한 칸도 2가 될 수 없다. 이미 4가 채워져 있고 한 칸에는 숫자 하나만 들어가기 때문이다.
▸ 왜?
각 칸은 숫자 하나와 짝지어지므로, 이미 4가 든 칸에는 2가 들어갈 자리가 없다.
▸ 왜?
이 열에는 2가 반드시 한 번 나와야 하는데 네 칸 중 세 칸이 이제 2를 거부한다. 만약 남은 한 칸마저 2를 담을 수 없다면 이 열은 반드시 있어야 할 숫자를 놓을 자리가 없어지는데, 그것은 불가능하므로 마지막 남은 칸이 2를 받을 수밖에 없다.
답 읽어 내기
따라서 (4,4) = 2, 정답은 선택지 (B) 입니다.
후보 중 정확히 한 숫자만 남았으므로 답이 결정됩니다 — (E) "결정할 수 없음" 도 자연히 배제됩니다.
4.OA.C.5Eliminate Possibilities구해야 할 칸이 있는 열만 집중해서 봅니다. 같은 행이나 같은 열 때문에 막히는 숫자를 하나씩 지우면 마지막에 남는 숫자가 답입니다.
- 4번 열 표시하기
- 이미 있는 4 제외하기
- 열에서 2의 자리 찾기
- 답 읽어 내기
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