경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2004 · #17

학년 4 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

combinations-basicset-partitionsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: systematic-enumerationcombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

세 친구가 똑같은 연필 6 자루를 나누어 가지려고 합니다. 단, 각자 적어도 한 자루는 가져야 해요. 나누는 방법은 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

연필이 6 자루, 친구가 3 명뿐이라 "6을 세 개의 양의 정수로 쪼개는 방법" 은 손으로 직접 나열할 수 있어요. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 주도구. 큰 수부터 차례로 적으면 빠뜨림 없이 모든 분할이 잡힙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 그 부담을 더 줄여 줘요 — 처음부터 순서가 있는 모든 (x₁, x₂, x₃)를 나열하지 말고, 먼저 순서 없는 분할만 찾은 다음 각 분할의 배치 수를 따로 세는 거예요. 이 작은 문제에 대수(도구 #13)까지 갈 필요가 없어요.

1STEP 1

6을 세 수로 나누어 적기

6을 세 양의 정수로, 큰 수부터 적어 모든 분할을 찾아요: 4+1+1, 3+2+1, 2+2+2.

6 = 4+1+1 | 6 = 3+2+1 | 6 = 2+2+2

2STEP 2

각 경우의 배열 수 세기

친구는 서로 다르니 각 분할의 배치 수는 3, 6, 1 이에요 (4+1+1, 3+2+1, 2+2+2).

분할 & 같은 수 & 배치 수 ; 4+1+1 & 1이 두 개 & 3 ; 3+2+1 & 모두 다름 & 6 ; 2+2+2 & 모두 같음 & 1

(4,1,1)은 4를 누구에게 줄지만 정하면 되니 3 가지. (3,2,1)은 세 수가 모두 다르니 3 × 2 × 1 = 6 가지. (2,2,2)는 누가 받든 똑같으니 1 가지.

한 분할의 부분들을 서로 다른 세 친구에게 나눠 주면 4+1+1은 세 가지, 3+2+1은 여섯 가지, 2+2+2는 한 가지 분배가 나온다.

▸ 왜?

4+1+1에서는 연필을 하나씩 가진 두 친구가 서로 바꿔도 티가 나지 않으므로, 분배는 세 친구 중 누가 네 자루 더미를 갖느냐로 완전히 정해진다 — 곧 세 가지 선택이다.

▸ 왜?

서로 다른 각 분배는 큰 더미를 갖는 친구 한 명과 정확히 짝지어지고, 하나씩 가진 두 친구의 이름을 바꿔도 개수는 그대로이므로, 분배는 세 친구와 일대일로 대응한다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

3+2+1에서는 세 부분이 모두 다르므로 누가 어느 더미를 갖는지 바뀌면 누군가의 개수가 달라진다; 분배의 수는 서로 다른 세 양을 세 친구에게 줄 세우는 방법의 수다.

▸ 왜?

더미를 두 번의 선택으로 차례로 배정하면 — 세 친구 중 누구든 세 자루 더미를 가질 수 있고, 그 다음 누가 되었든 남은 두 친구 중 하나가 두 자루 더미를 갖고 마지막 친구는 한 자루로 정해진다 — 두 번째 선택은 첫 선택이 어떻든 항상 두 가지이므로, 독립적인 선택은 곱해져 3 × 2 = 6이 된다.

독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.

▸ 왜?

2+2+2에서는 모든 친구가 똑같이 두 자루를 가지므로 누가 무엇을 갖는지 이름을 어떻게 붙여도 개수 목록이 바뀌지 않아 분배는 정확히 하나뿐이다.

▸ 왜?

세 개수가 모두 같으므로 누가 무엇을 갖는지 붙이는 모든 방법이 각 친구가 두 자루를 갖는 단 하나의 개수 목록과 짝지어져, 서로 다른 분배는 하나뿐이다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

4.OA.A.3Make A Systematic List

3STEP 3

가짓수 더하기

배치 수를 모두 더하면 3 + 6 + 1 = 10 가지, 답은 (D).

3 + 6 + 1 = 10 → (D)

정답

10 가지 순서쌍을 직접 적어 확인해 봅니다. (4,1,1) 에서: (4,1,1), (1,4,1), (1,1,4) — 3 가지. (3,2,1) 에서: (3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,1,3), (1,3,2), (1,2,3) — 6 가지. (2,2,2)는 (2,2,2) 한 가지. 합 3 + 6 + 1 = 10으로 (D)와 일치합니다. 오답 점검: (A) 1은 (2,2,2)만 세고 친구가 서로 다르다는 사실을 놓친 답, (B) 3은 (4,1,1)만 센 답, (C) 6은 (3,2,1)만 센 답, (E) 12는 (4,1,1)을 6 가지로 잘못 세어 6+6=12가 나온 답입니다.

💡핵심 정리

"몇 가지 방법인가" 문제는 먼저 순서를 무시한 분할을 적고, 그다음 각 분할의 자리 배치 수만 세어요 — 3 + 6 + 1 = 10 가지.

6을 세 수로 나누어 적기
각 경우의 배열 수 세기
가짓수 더하기

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6을 세 수로 나누어 적기

각 경우의 배열 수 세기

가짓수 더하기

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