경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2001 · #19
학년 6 rate-ratio답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 자동차가 공유하는 "변하지 않는 값" 은 거리입니다 — 도구 #11(변하지 않는 것 찾기). 속력-시간 그래프에서 거리는 선분 아래 직사각형의 넓이로 나타나므로, 두 직사각형의 넓이가 같아야 합니다. 속력 비 s_N = 2 s_M 을 대입하면 넓이가 같다는 조건이 시간 비 t_N = 1/2 t_M 을 강제합니다. "세로 두 배, 가로 절반" 두 조건이 정해지면, 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 그래프를 차례로 점검해 둘 중 하나라도 어기는 선택지를 모두 지우면 답이 남습니다.
변하지 않는 양 정하기
두 자동차 모두 같은 거리 d 를 가고, 속력-시간 그래프에서 그 거리는 각 선분 아래 직사각형의 넓이 입니다.
두 자동차가 공유하는 숨은 양이 "거리" 입니다. 그것을 선분 아래 직사각형의 넓이로 읽으면 문제는 "직사각형 두 개의 넓이 비교" 로 바뀝니다.
6.RP.A.3Work Backwards두 시간 비교하기
거리가 고정된 상태에서 속력이 두 배가 되면 N의 시간은 M의 절반이 됩니다.
거리가 고정인 상태에서 속력이 두 배면 시간은 절반이 됩니다. 같은 넓이, 세로 두 배 → 가로 절반.
두 자동차가 같은 거리를 달리고 한 대가 두 배 빠르면, 그 빠른 차는 도로 위에서 정확히 절반의 시간을 쓴다.
▸ 왜?
거리는 속력에 시간을 곱한 것이고, 두 차가 같은 거리를 달리므로 빠른 차의 속력 곱하기 시간은 느린 차의 속력 곱하기 시간과 같아야 한다.
▸ 왜?
일정한 속력에서는 같은 크기의 시간마다 같은 고정 거리가 더해지므로, 전체 거리는 그 속력을 시간 단위마다 한 번씩 센 것 — 속력 곱하기 시간이다.
▸ 왜?
두 차는 바로 같은 길이의 여정을 달리므로, 두 거리 값은 하나의 같은 수를 가리키며 서로 같다고 놓을 수 있다.
▸ 왜?
두 배의 속력을 그 등식에 대입하면, 느린 속력 곱하기 느린 시간이 느린 속력의 두 배 곱하기 빠른 시간과 같아지므로, 공통인 느린 속력이 양변에 놓여 소거될 수 있다.
▸ 왜?
양변을 공통인 느린 속력으로 나누면 그 곱셈이 되돌려져 지워지고, 느린 시간이 빠른 시간 두 개와 같아진다.
▸ 왜?
느린 시간이 빠른 시간 두 개와 같으므로, 빠른 시간은 그 시간을 똑같이 둘로 자른 것 — 느린 시간의 절반이다.
▸ 왜?
절반은 두 배를 되돌리므로, 한 시간이 다른 시간의 두 배이면 그 다른 시간은 그것의 절반이다.
그래프 모양 정리하기
그래서 점선 M 옆의 실선 N은 높이는 두 배, 가로는 절반 이어야 합니다.
이 두 시각적 조건 — 높이 두 배, 가로 절반 — 만 있으면 각 그래프의 합격·불합격을 판단할 수 있습니다.
6.RP.A.1Eliminate Possibilities맞지 않는 그래프 지우기
각 선택지를 점검하면 하나만 높이 두 배·가로 절반; A·B는 가로, C·E는 높이에서 탈락 → (D).
네 선택지가 규칙을 어기고, 살아남은 하나가 답입니다. 매번 처음부터 다시 풀기보다 "지우기" 가 훨씬 빠릅니다.
6.RP.A.3Eliminate Possibilities속력-시간 그래프에서 거리는 각 선분 아래 직사각형의 넓이. 같은 거리에서 속력이 두 배면 시간은 절반 — 두 배 높이, 절반 가로. 이 시각적 한 줄로 (D)가 잡혀요.
- 변하지 않는 양 정하기
- 두 시간 비교하기
- 그래프 모양 정리하기
- 맞지 않는 그래프 지우기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.