경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2004 · #11

학년 6 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logical-deductionmean-median-mode-rangesystematic-enumerationcasework caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationmean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다섯 개의 수 -2, 4, 6, 9, 12 를 다섯 자리에 한 줄로 늘어놓습니다. 단, (1) 가장 큰 수는 첫 자리에 오지 않지만 첫 세 자리 중 하나에 있고, (2) 가장 작은 수는 마지막 자리에 오지 않지만 마지막 세 자리 중 하나에 있으며, (3) 중앙값은 첫 자리도 마지막 자리도 아닙니다. 첫 자리와 마지막 자리에 놓인 두 수의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.5

(B)

(C)

6.5

(D)

7.5

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 규칙이 서로 다른 세 수의 위치를 각각 제약합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 규칙을 한 개씩 처리한 뒤 결과를 합치는 것이 가장 깔끔합니다. 세 핵심 수 (12, -2, 6)의 가능한 자리가 모두 {2,3,4}로 좁혀지면, 도구 #13(똑똑하게 세기)이 마무리를 합니다. 서로 다른 세 수가 세 개의 가운데 자리를 모두 차지하므로, 남은 두 수 (4와 9)가 1 번 자리와 5 번 자리를 차지하게 됩니다.

1STEP 1

특별한 세 수 찾기

정렬하면 최댓값 12, 최솟값 -2, 중앙값 6 — 남은 두 수 4와 9 는 어떤 규칙에도 묶이지 않습니다.

최댓값=12, 최솟값=-2, 중앙값=6, 제약 없음: 4, 9

2STEP 2

가장 큰 수 규칙 적용하기

규칙 1로 12는 첫 세 자리 중 첫 자리는 아니니 2 번 또는 3 번 자리.

12의 자리 ∈ {1,2,3} ∩ {2,3,4,5} = {2, 3}

3STEP 3

가장 작은 수 규칙 적용하기

규칙 2로 -2는 마지막 세 자리 중 마지막은 아니니 3 번 또는 4 번 자리.

-2의 자리 ∈ {3,4,5} ∩ {1,2,3,4} = {3, 4}

4STEP 4

중앙값 규칙 적용하기

규칙 3으로 6은 양 끝이 아니니 중앙값 6은 2, 3, 4 번 자리.

6의 자리 ∈ {1,2,3,4,5} ∖ {1,5} = {2, 3, 4}

5STEP 5

차지한 자리 세기

12, -2, 6 셋 모두 2, 3, 4 번 자리 안에 들어가야 하므로 가운데 세 자리가 꽉 찹니다.

{12, -2, 6의 자리} = {2,3,4}

세 물건을 세 상자에 넣으면 모든 상자가 꽉 찹니다(비둘기집 식 세기). 가운데 자리는 다 채워졌으니 양 끝에는 남은 수만 갑니다.

가장 큰 수, 가장 작은 수, 중앙값이 모두 2, 3, 4번 자리로 몰리므로, 어떤 규칙에서도 언급되지 않은 두 수만이 첫 번째와 마지막 자리에 남는다.

▸ 왜?

세 특별한 수는 각자의 규칙에 의해 양쪽 끝 자리에서 밀려나므로, 셋 모두 2, 3, 4번 자리 안에만 놓일 수 있다.

▸ 왜?

가장 큰 수는 앞 세 자리만 허용되고 그중 맨 앞이 막히며, 가장 작은 수는 뒤 세 자리만 허용되고 그중 맨 뒤가 막히므로, 막힌 끝을 덜어내면 각각 가운데 안쪽 자리만 남는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

중앙값은 맨 앞과 맨 뒤가 막히는데, 다섯 자리 전체에서 그 양쪽 끝을 덜어내면 정확히 가운데 세 자리가 남는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

특별한 수는 정확히 세 개이고 가운데 자리도 정확히 세 개이며, 각 수는 자기만의 자리가 필요하므로, 세 수가 가운데 세 자리를 남김없이 다 채운다.

▸ 왜?

세 수를 가운데 세 자리에 하나씩 짝지으면 일대일 대응이 되고, 두 무리 사이의 일대일 대응은 두 무리의 크기가 같아 짝이 남지 않음을 뜻한다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

다섯 자리는 가운데 세 자리와 양쪽 끝 두 자리를 합한 것이고, 다섯 수는 특별한 세 수와 나머지 두 수를 합한 것이므로, 특별한 수가 가운데를 채우고 나면 남은 두 수가 끝자리를 채울 수밖에 없다.

▸ 왜?

자리들은 가운데 셋과 끝 둘로 겹침도 빈틈도 없이 나뉘므로, 이미 채워진 부분을 덜어내면 남은 두 수를 위한 양쪽 끝 두 자리가 정확히 남는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

6.EE.B.5Convert To Algebra

6STEP 6

양 끝 수 평균 구하기

양 끝에는 4와 9 만 남고, 평균은 $\frac{4 + 9}{2}$ = 6.5 → (C).

평균 = (4 + 9)/2 = 13/2 = 6.5 → (C)

정답

6.5

조건을 만족하는 한 가지 배열을 직접 확인해 봅시다. 4, 12, -2, 6, 9: 1 번 자리가 12가 아니고 (좋음), 12는 2 번 자리에 있어 첫 세 자리 안 (좋음); -2는 3 번 자리에 있어 마지막 세 자리 안이며 마지막은 아님 (좋음); 6은 4 번 자리에 있어 첫 자리도 마지막 자리도 아님 (좋음). 모든 규칙이 만족되고, 첫 자리와 마지막 자리는 4와 9이며 평균은 6.5. 답 (C)와 일치합니다.

💡핵심 정리

여러 규칙이 동시에 주어지면 한 규칙씩 풀어가세요. 규칙마다 한 수가 갈 자리를 좁혀 주고, 세 수가 가운데 세 자리에 모두 묶이면 양 끝은 저절로 결정됩니다 — 평균은 그 다음 한 줄로 나옵니다.

특별한 세 수 찾기
가장 큰 수 규칙 적용하기
가장 작은 수 규칙 적용하기
중앙값 규칙 적용하기
차지한 자리 세기
양 끝 수 평균 구하기

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특별한 세 수 찾기

가장 큰 수 규칙 적용하기

가장 작은 수 규칙 적용하기

중앙값 규칙 적용하기

차지한 자리 세기

양 끝 수 평균 구하기

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