AMC 8 · 2013 · #19

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logical-deductionif-then-reasoning caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한나(Hannah), 브리짓(Bridget), 캐시(Cassie)가 시험을 봤습니다. 한나는 자기 점수를 두 친구에게 보여 줬지만, 브리짓과 캐시는 자기 점수를 누구에게도 보여 주지 않았습니다. 이때 캐시가 "나는 최저점이 아니야" 라고 말하고, 브리짓이 "나는 최고점이 아니야" 라고 말합니다. 각 진술은 말하는 사람이 실제로 볼 수 있는 정보만으로 확신할 수 있는 것이어야 합니다. 세 사람의 점수를 높은 순서부터 낮은 순서로 나열하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Hannah, Cassie, Bridget

(B)

Hannah, Bridget, Cassie

(C)

Cassie, Bridget, Hannah

(D)

Cassie, Hannah, Bridget

(E)

Bridget, Cassie, Hannah

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

각 친구의 진술은 자기가 실제로 볼 수 있는 두 명짜리 쌍 에만 직접 정보를 줍니다 — 캐시는 (C, H), 브리짓은 (B, H). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 셋이 한꺼번에 얽힌 문제를 두 개의 "두 명 비교" 부분 문제로 갈라 풀고, 각 부분 문제에서는 도구 #3(가능성 지우기)으로 보이는 쌍의 두 가지 가능한 순서 중 "화자가 확신할 수 없는 쪽" 을 제거합니다. 살아남은 두 부등식이 한나를 공유 항으로 두고 있으므로, 둘을 이어 붙이면 세 명 전체의 순서가 자연스럽게 나옵니다 — 대수(도구 #13)는 전혀 필요 없습니다.

1STEP 1

캐시는 한나 점수만 본다. C ＜ H면 브리짓이 더 높아 최저가 될 수 있어 확신 불가 — 따라서 C ＞ H.

캐시는 최저 ≠ 자기 라고 확신 ⟹ C ＞ H

2STEP 2

브리짓은 한나 점수만 본다. B ＞ H면 캐시가 더 낮아 최고가 될 수 있어 확신 불가 — 따라서 B ＜ H.

브리짓은 최고 ≠ 자기 라고 확신 ⟹ B ＜ H

3STEP 3

한나를 공유 항으로 두 부등식을 잇는다: C ＞ H와 H ＞ B를 연결하면 C ＞ H ＞ B.

C ＞ H, H ＞ B ⟹ C ＞ H ＞ B

4STEP 4

C ＞ H ＞ B를 선택지에 맞추면 캐시, 한나, 브리짓 — 선택지 (D).

C ＞ H ＞ B → Cassie, Hannah, Bridget → (D)

정답

Cassie, Hannah, Bridget

구체적인 숫자로 검산해 봅시다. C = 95, H = 85, B = 70 이라고 하면, 캐시는 C = 95 와 H = 85 를 보고 있고 브리짓이 설령 100 을 받았더라도 자기는 여전히 한나보다 높으니 최저가 아니라는 진술은 확실히 참입니다. 브리짓은 B = 70 과 H = 85 를 보고 있고 캐시가 설령 0 을 받았더라도 자기는 한나보다 낮으니 최고가 아니라는 진술은 확실히 참입니다. 반대로 H ＞ C 라고 두면 캐시는 "브리짓이 최고고 내가 최저" 인 경우를 배제할 수 없어 확신이 깨지고, B ＞ H 라고 두면 브리짓도 같은 이유로 확신이 깨집니다. 따라서 (D) 만 유일하게 성립합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 퍼즐은 가운데 항을 공유하는 두 부등식(C ＞ H 와 H ＞ B)을 하나로 이어 붙여 C ＞ H ＞ B 를 만드는 6학년 부등식 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대수는 전혀 필요 없습니다!

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