경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2002 · #4
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AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
4 자리 회문은 항상 ABBA 꼴입니다 — 천의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같고, 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 같다는 뜻이죠. 도구 #5(규칙 찾기)가 바로 이 모양을 잡아냅니다. 모양만 정해지면 마무리는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 합니다 — 2002와 가깝게 두기 위해 A는 2로 유지하고, B 의 다음 값만 시험해 보면 됩니다.
회문 연도 꼴 쓰기
네 자리 회문은 반드시 ABBA 로 읽힙니다 — 천의 자리는 일의 자리와, 백의 자리는 십의 자리와 같습니다.
각 자리에는 자리값이 있고, 회문 규칙은 일의 자리를 천의 자리에, 십의 자리를 백의 자리에 묶어 줍니다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern2002를 꼴에 맞추기
2002를 ABBA 에 맞추면 A = 2, B = 0 이고, 십의 자리 0과 일의 자리 2도 규칙과 일치합니다.
2002를 ABBA 로 읽어 두면 어떤 값부터 올려야 할지 한눈에 보입니다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern다음 숫자 올려 보기
A 는 2로 두고 B 를 0 에서 1로 올리면 (A=3은 3003까지 튐) 2112 가 됩니다.
B 를 1 만큼 올리면 연도는 백의 자리·십의 자리에서 각각 1 씩 늘어 110 만큼 커지므로, A 를 그대로 두는 한 가장 작은 도약입니다.
천의 자리 숫자를 2로 그대로 두고 가운데 짝지은 숫자를 0에서 1로 올리면 2112가 되며, 이는 2002보다 큰 가장 작은 회문 연도이다.
▸ 왜?
연도는 여전히 2로 시작해야 한다. 천의 자리를 3으로 올리면 적어도 3003이 되어, 오른쪽 아래 자리들을 고치는 것보다 훨씬 큰 도약이 되기 때문이다.
▸ 왜?
천의 자리는 백의 자리 열 개의 값이라, 그 자리에서 한 걸음 올리는 것이 아래 자리 숫자들을 모두 합쳐 바꾸는 최대치보다 크다.
▸ 왜?
앞 숫자를 2로 고정하면 회문은 2BB2로 읽히므로, 연도 전체는 가운데 숫자 B 하나로 정해진다. B를 0에서 다음 값인 1로 올리는 것이 연도를 2002 위로 올리는 가장 작은 변화이며, 그 결과 2112가 된다.
▸ 왜?
가운데 숫자 B가 클수록 연도가 커진다. B가 백의 자리를 차지하여 아래의 십의 자리와 일의 자리보다 높기 때문이다. 따라서 B를 가장 조금 올리면 연도도 가장 조금 커진다.
네 자리 숫자 곱하기
2112의 네 자리 숫자를 모두 곱합니다.
1을 곱해도 값이 변하지 않으므로, 결국 2 × 2만 남습니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern4 자리 회문은 언제나 ABBA 모양이라, 2002 다음 회문은 가운데 자리 숫자만 한 칸 올리면 나옵니다 — 그래서 2112, 그 자리 숫자를 곱하면 4.
- 회문 연도 꼴 쓰기
- 2002를 꼴에 맞추기
- 다음 숫자 올려 보기
- 네 자리 숫자 곱하기
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