경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2012 · #16

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

place-valuedigit-constraintssystematic-enumeration caseworkdigit-constraintssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 각각 한 번씩만 써서 다섯 자리 수 두 개를 만들 때, 그 합이 최대가 되도록 합니다. 선택지 중 두 수 중 하나가 될 수 있는 것은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

76531

(B)

86724

(C)

87431

(D)

96240

(E)

97403

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

다섯 자리 수 두 개의 합은 만의 자리, 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 — 다섯 칸의 합으로 분해됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 자릿값 칸을 "여기에 어떤 두 숫자가 들어가야 할까?" 라는 독립된 작은 문제로 봅니다 — 만의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 10,000 배 값이 크기 때문에 칸끼리 손해 보고 바꿀 이유가 없거든요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 두 자리 수 두 개를 먼저 만들어 보며 규칙을 확인합니다. 각 칸에 들어갈 숫자 쌍이 정해지면, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 한 자리씩 훑어 잘못된 칸에 숫자가 들어간 답을 차례로 지워 나갑니다.

1STEP 1

더 작은 문제 먼저 풀기

작은 사례로 확인: 0~3 에서 31 + 20 = 51이 13 + 20 = 33 보다 큽니다. 규칙: 큰 자릿값일수록 큰 숫자를 둔다.

31 + 20 = 51 vs. 13 + 20 = 33

2STEP 2

자릿값 순서로 숫자 배치하기

같은 규칙을 왼쪽부터: 만의 자리 {9,8}, 천의 자리 {7,6}, 백의 자리 {5,4}, 십의 자리 {3,2}, 일의 자리 {1,0}.

자릿값 & 숫자 쌍 ; 만의 자리 & {9, 8} ; 천의 자리 & {7, 6} ; 백의 자리 & {5, 4} ; 십의 자리 & {3, 2} ; 일의 자리 & {1, 0}

각 칸은 "이 칸의 기여를 최대로 만들 두 숫자는?" 이라는 독립 문제이고, 답은 늘 "아직 남아 있는 가장 큰 두 숫자" 입니다.

두 다섯 자리 수의 합을 가능한 한 크게 만들려면, 큰 숫자를 가장 높은 자리값 열에 넣어야 한다: 만의 자리에 9와 8, 천의 자리에 7과 6, 백의 자리에 5와 4, 십의 자리에 3과 2, 일의 자리에 1과 0.

▸ 왜?

두 수의 합은 다섯 개의 자리값 열을 모두 합한 것이고, 높은 열에 놓인 숫자는 낮은 열에 놓인 같은 숫자보다 합에 훨씬 많이 더해지므로, 가장 큰 숫자들을 가장 높은 자리에 채울 때 합이 가장 커진다.

▸ 왜?

두 수를 더할 때 각 자리값 열을 따로 더한 뒤 합칠 수 있고, 각 열이 보태는 값은 그 열의 두 숫자를 그 자리값으로 센 것이다.

▸ 왜?

쓰인 수는 각 숫자를 자기 자리에서 센 것일 뿐이라 — 만이 여덟, 천이 일곱, 이런 식으로 — 그 값은 오로지 각 숫자가 어느 자리에 있느냐로 정해진다.

자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

▸ 왜?

전체 합은 각 열을 따로 더한 뒤 이어 붙여 구할 수 있는데, 전체는 어떻게 묶든 부분들의 합과 같기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

왼쪽 열은 바로 오른쪽 열의 열 배 값을 가지므로, 만의 자리는 숫자를 만 배로 세고 일의 자리는 겨우 한 배로 센다.

자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

▸ 왜?

만약 작은 숫자가 더 높은 자리에, 큰 숫자가 더 낮은 자리에 있다면 둘을 맞바꿀 때 합이 커지므로, 가능한 가장 큰 합은 큰 숫자를 높은 자리에 둔다.

▸ 왜?

그 두 숫자를 맞바꾸면 합은 (큰 숫자 빼기 작은 숫자) 곱하기 (높은 자리값 빼기 낮은 자리값)만큼 바뀌는데, 두 차이가 모두 양수라 맞바꿈은 합을 키우기만 한다.

분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.

4.NBT.A.1Identify Subproblems

3STEP 3

최대 합 확인하기

칸별 합은 고정: 9+8=17, 7+6=13, 5+4=9, 3+2=5, 1+0=1. 어떻게 나눠도 최대 합 183951 은 변하지 않습니다.

17 · 10000 + 13 · 1000 + 9 · 100 + 5 · 10 + 1 = 183951

4STEP 4

자리가 틀린 선택지 지우기

각 선택지를 단계 2 표와 자리별로 대조해 어긋난 숫자를 지웁니다. 모든 칸을 통과하는 것은 (C) 뿐입니다.

(A) 76531 & 만의 자리 = 7, {9,8} 에 없음 X ; (B) 86724 & 백의 자리 = 7, {5,4} 에 없음 X ; (C) 87431 & 8 ∈ {9,8}, 7 ∈ {7,6}, 4 ∈ {5,4}, 3 ∈ {3,2}, 1 ∈ {1,0} ✓ ; (D) 96240 & 백의 자리 = 2, {5,4} 에 없음 X ; (E) 97403 & 십의 자리 = 0, {3,2} 에 없음 X

5STEP 5

짝이 되는 수 만들기

남은 9,6,5,2,0으로 (C)의 짝꿍 96520 을 만들면 87431 + 96520 = 183951로 최대 합과 일치합니다.

87431 + 96520 = 183951 → (C)

정답

87431

최대 합 183951은 여섯 자리 수입니다 — 두 다섯 자리 수가 각각 100,000 근처이니 합이 약 200,000 인 것은 자연스럽습니다. 합의 맨 앞자리가 1 인 것도 만의 자리에서 9 + 8 = 17의 받아올림이 한 번 일어났기 때문입니다. (C) 87431도 왼쪽일수록 큰 숫자, 오른쪽일수록 작은 숫자라는 자릿값 규칙을 그대로 따르고, 짝꿍 96520 역시 마찬가지여서 직관과 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 때 배운 자릿값 개념만 알면 풀 수 있어요 — 왼쪽 자리의 숫자가 오른쪽 자리보다 훨씬 값이 크니까, 큰 숫자를 왼쪽에 두면 됩니다!

더 작은 문제 먼저 풀기
자릿값 순서로 숫자 배치하기
최대 합 확인하기
자리가 틀린 선택지 지우기
짝이 되는 수 만들기

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자릿값 순서로 숫자 배치하기

최대 합 확인하기

자리가 틀린 선택지 지우기

짝이 되는 수 만들기

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