경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2016 · #17

학년 4 counting
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
permutations-basiccomplementary-countingsystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basicmulti-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
비밀번호는 4 자리이고, 각 자리에는 0부터 9까지 어느 숫자나 올 수 있습니다(중복 허용). 단 한 가지 규칙은, 비밀번호가 9, 1, 1 세 숫자(이 순서)로 시작하면 안 된다는 것입니다. 가능한 비밀번호는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$mbox{ }30$
(B)
$mbox{ }7290$
(C)
$mbox{ }9000$
(D)
$mbox{ }9990$
(E)
$mbox{ }9999$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기 (여사건)

허용되는 비밀번호를 바로 세려면 첫째 자리 경우를 다 따져야 해서 번거롭습니다. 반면 금지된 비밀번호는 훨씬 적으니, 도구 #16(여사건)으로 "전체 - 금지"를 구하는 게 깔끔합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 금지된 개수를 확인하는 안전장치로 — 9110, 9111, …, 9119를 차례로 적어 10 개임을 직접 확인합니다.

1STEP 1

전체 비밀번호 수 세기

규칙 없는 전체부터 셉니다: 4자리에 각 10가지라 곱하면 10,000개.

10 × 10 × 10 × 10 = 10,000
2STEP 2

금지된 경우 세기

금지된 경우를 셉니다: 앞 세 자리는 9, 1, 1로 고정, 넷째만 자유라 금지는 10개.

1 × 1 × 1 × 10 = 10
3STEP 3

직접 나열해 확인하기

확인 삼아 순서대로 적습니다: 9110, 9111, …, 9119 — 마지막 자리만 변해 정확히 10개.

9110, 9111, 9112, 9113, 9114, 9115, 9116, 9117, 9118, 9119 → 10 개
4STEP 4

금지된 경우 빼기

전체에서 금지를 뺍니다 — 여사건 단계: 10,000 - 10 = 9,990개 (D).

10,000 - 10 = 9,990 → (D)
정답
9990
10,000 개 중 금지되는 건 10 개뿐, 즉 0.1% 입니다. 그러니 허용되는 개수는 10,000 보다 아주 살짝 작아야 합니다. 선택지 (D) 9,990이 정확히 그렇습니다. (A) 30과 (B) 7290은 너무 작고, (E) 9999는 금지가 단 1 개일 때의 값이지만 네 번째 자리가 10 가지라 금지는 10 개입니다. (C) 9000은 "첫 자리가 9 인 모든 비밀번호 금지" 에 해당하는데, 문제 규칙은 그게 아닙니다.
💡핵심 정리

안 되는 경우가 몇 개 안 될 때는, 그것만 세서 전체에서 빼면 돼요 — 여사건 트릭, 4학년 곱셈과 뺄셈이면 충분해요.

  • 전체 비밀번호 수 세기
  • 금지된 경우 세기
  • 직접 나열해 확인하기
  • 금지된 경우 빼기

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