경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2003 · #20

학년 5 geometry-2d

유형 Angle Chase in a Synthetic Figure └ 세부 유형 Fixed-Instrument Angle Composition

rateangle-sum-trianglefraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

오후 4{:}20 에 12시간제 시계의 시침과 분침이 이루는 예각의 크기는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

시계 문자반은 그 자체가 눈금이 매겨진 원형 다이어그램입니다. 도구 #1(그림 그리기)을 쓰면 공식과 씨름하는 대신 두 바늘의 위치를 다이얼 위에 표시해 그 차이를 바로 읽을 수 있어요. 이 문제의 함정은 "4{:}20이면 시침이 4 위에 그대로 있겠지" 라고 가정하는 것 — 그림을 그려 보면 시침이 4를 살짝 지나갔다는 게 한눈에 보입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)는 이 큰 문제를 "분침 위치 구하기" + "시침 위치 구하기" 의 두 개의 작은 문제로 쪼개 줍니다. 각 작은 문제는 분당 회전 속도(분침 6°, 시침 0.5°)에 분을 곱하는 곱셈 한 번으로 끝납니다.

1STEP 1

숫자 사이 각도 구하기

문자반 눈금부터: 360° 원이 12 등분이니 이웃한 두 숫자 사이는 30° 입니다.

360°/12 = 30° (이웃한 두 숫자 사이)

2STEP 2

분침 위치 구하기

분침은 분당 6° 씩 도니 20 분이면 120° — 정확히 숫자 4 위입니다.

분침 위치 = 20 × 6° = 120°

3STEP 3

시침 위치 구하기

시침은 분당 0.5° 씩 움직여 4{:}00부터 4를 10° 지나 130° 에 옵니다.

시침 위치 = 120° + 20 × 0.5° = 120° + 10° = 130°

작은 문제 2: 시침은 정각이 아닐 때 숫자와 숫자 사이에서 움직이고 있다. 드리프트가 10° 로 작지만, 그 작은 차이가 이 문제의 핵심입니다.

4시 20분에 시침은 더 이상 4에 놓여 있지 않다; 이미 지나간 시간의 비율만큼 숫자 사이 간격을 5쪽으로 앞서 나아가 있다.

▸ 왜?

시침은 한 시간마다 숫자 사이 간격을 정확히 하나씩 지나가므로, 4시와 5시 사이에는 일정한 속도로 4에서 5까지의 간격 전체를 이동한다.

▸ 왜?

열두 개의 숫자가 한 바퀴를 열두 개의 같은 간격으로 나누고, 시침은 열두 시간에 한 바퀴를 돌므로, 매 한 시간은 그 같은 간격 하나를 지나는 데 쓰인다.

▸ 왜?

합쳐서 한 바퀴 360°를 채우는 열두 개의 같은 간격은 각각 그 12분의 1, 즉 30° 폭일 수밖에 없다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

한 바퀴에는 간격도 열둘, 시간도 열둘이 있으므로, 간격 하나를 시간 하나에 짝지으면 남김없이 딱 맞아 한 시간에 한 간격이 된다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

속도가 일정하기 때문에, 시침이 한 시간짜리 간격에서 지나간 부분은 흘러간 시간의 부분과 같다 — 60분 중 20분은 간격의 60분의 20을 지난다.

▸ 왜?

한 시간은 곧 1분짜리 같은 걸음 60개이므로, 그중 20걸음을 지나면 시침은 간격 안으로 같은 걸음 20개만큼 들어간 것이다.

▸ 왜?

한 시간은 60분과 같은 고정된 교환이므로, 한 시간은 같은 1분 걸음 60개로 깔끔하게 나뉜다.

큰 단위는 작은 단위 고정 개수의 묶음큰 단위는 언제나 작은 단위의 같은 고정 개수와 같아서(1시간=60분, 1km=1000m) 측정을 두 단위로 바꿔 부를 수 있다.

▸ 왜?

일정한 속도는 매분 같은 작은 양만큼 시침을 옮기므로, 20분은 그 하나의 같은 양을 20번 복사한 것일 뿐이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

4.MD.C.7Solve An Easier Related Problem

4STEP 4

두 위치 빼기

이제 두 바늘 모두 각도 주소를 가지니 그 차이는 뺄셈 한 번: 130° - 120° = 10°.

|130° - 120°| = 10° → (D)

정답

10° 라는 답은 그림과 잘 맞습니다. 4{:}20에 분침은 정확히 4 위, 시침은 4 에서 5 쪽으로 살짝 흘러간 자리. 4와 5 사이는 30° 이고 20 분은 한 시간의

\frac{1}{3}

이므로, 시침은 그 칸의

\frac{1}{3}

만큼만 이동했어요:

\frac{1}{3}

× 30° = 10°. 답 (D)와 일치하고, (A) 0 (두 바늘이 겹친다는 뜻이라 틀림), (B) 5 · (C) 8 (4 칸의

\frac{1}{3}

보다 작음), (E) 12 (너무 큼)은 모두 배제됩니다.

💡핵심 정리

4{:}20에 분침은 정확히 4 위에 있지만, 시침은 이미 5 쪽으로 한 칸의 $\frac{1}{3}$ 만큼 흘러갔어요 — 30° 의 $\frac{1}{3}$ 인 10° 가 바로 답입니다.

숫자 사이 각도 구하기
분침 위치 구하기
시침 위치 구하기
두 위치 빼기

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숫자 사이 각도 구하기

분침 위치 구하기

시침 위치 구하기

두 위치 빼기

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