경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2016 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Angle Chase in a Synthetic Figure └ 세부 유형 Isosceles Equal-Angle Chase

angle-sum-triangleline-symmetryspatial-visualization identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleline-symmetry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

반지름이 같은 두 원의 중심을 각각 A, B라 합시다. 두 원은 서로의 중심을 지나도록 겹쳐져 있습니다. A와 B를 지나는 직선을 양쪽으로 연장해서 두 원과 만나는 먼 점을 각각 C(A 너머)와 D(B 너머)라 하고, 두 원이 만나는 두 교점 중 하나를 E라 합시다. 이때 ∠ CED의 크기를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

105

(C)

120

(D)

135

(E)

150

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제에 그림이 없으니 첫 단계는 도구 #1(그림 그리기)입니다. 겹친 두 원, 중심 A와 B, 그 둘을 지나는 직선, 먼 점 C와 D, 그리고 교점 E 하나를 그려 놓고 AE, BE, AB 를 모두 그어 보면 길이가 모두 반지름 r 로 같다는 사실이 한눈에 보입니다. 그림 안에 정보가 많으니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 ∠ CED 를 세 조각 ∠ CEA, ∠ AEB, ∠ BED 로 나누어, 각각 작은 삼각형 △ CAE, △ ABE, △ BDE 한 개씩만 보고 풀면 됩니다. 세 조각을 더하면 답이 나옵니다.

1STEP 1

그림 그리기

그림을 그려 겹친 두 원과 C, D, E를 표시하고 AE, BE, AB를 그으면 △CAE, △ABE, △BDE가 꼭짓점 E에서 만납니다.

AB = r, AE = r, BE = r, CA = r, BD = r

2STEP 2

가운데 삼각형 각 구하기

가운데 △ABE는 세 변이 모두 r이라 정삼각형이고 모든 각이 60°, 특히 ∠AEB = 60°입니다.

AB = AE = BE = r → △ ABE 정삼각형 → ∠ AEB = ∠ EAB = 60°

3STEP 3

왼쪽 삼각형 각 구하기

C, A, B가 일직선이라 ∠CAE = 180° − 60° = 120°, CA = AE = r인 이등변삼각형 밑각에서 ∠AEC = 30°.

2 · ∠ AEC + 120° = 180° → ∠ AEC = 30°

4STEP 4

오른쪽 삼각형 각 구하기

오른쪽도 대칭이라 A, B, D가 일직선이면 ∠EBD = 120°, BD = BE = r인 이등변삼각형에서 ∠BED = 30°입니다.

2 · ∠ BED + 120° = 180° → ∠ BED = 30°

5STEP 5

세 각 더하기

E에서 EC, EA, EB, ED가 차례로 벌어지므로 ∠CED = 30° + 60° + 30° = 120°, 정답은 (C).

∠ CED = 30° + 60° + 30° = 120° → (C)

∠ CED 를 겹치지 않는 인접 각들의 합으로 보는 것은 4학년 "각의 크기는 더할 수 있다" 개념입니다.

교차점에서의 각 ∠ CED는 30° + 60° + 30° = 120°이다.

▸ 왜?

E에서 반직선 EC, EA, EB, ED가 이 순서로 펼쳐져 있어 ∠ CED는 겹침도 빈틈도 없이 이웃한 세 조각 ∠ CEA, ∠ AEB, ∠ BED로 나뉘고, 전체 각은 바로 이 세 각을 더한 값이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

가운데 조각 ∠ AEB가 60°인 까닭은 삼각형 ABE가 정삼각형이어서 세 각이 모두 같은 60°이기 때문이다.

▸ 왜?

변 AB, AE, BE는 각각 원의 중심에서 둘레까지 그은 것이라 모두 반지름 r과 같고, 따라서 세 변의 길이가 같다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

세 변이 모두 같으면 삼각형을 뒤집어도 자기 자신에 정확히 포개져서 세 각이 서로 같을 수밖에 없다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

합이 180°가 되어야 하는 세 개의 같은 각은 각각 60°일 수밖에 없다.

삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.

▸ 왜?

바깥쪽 두 조각, 왼쪽의 ∠ CEA와 그 거울상인 오른쪽의 ∠ BED가 각각 30°인 까닭은, 각각이 꼭지각이 120°인 이등변삼각형의 밑각이기 때문이다.

▸ 왜?

꼭지각 ∠ CAE와 정삼각형의 각 ∠ EAB = 60°는 C, A, B를 지나는 직선 위에 나란히 놓여 있어, ∠ CAE는 남은 몫을 차지해 120°가 된다.

평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.

▸ 왜?

이 삼각형은 두 변이 같아서 거울처럼 대칭이고, 따라서 두 밑각이 같다.

▸ 왜?

변 CA와 AE는 둘 다 원 A의 반지름이라 길이가 같다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

그 두 변이 같으므로 두 변 사이의 선을 축으로 삼각형을 뒤집으면 두 밑각이 서로 포개져서 반드시 같다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

세 각의 합이 180°이므로 120°인 꼭지각을 빼고 남은 60°를 같은 두 밑각이 나눠 가져 각각 30°가 된다.

삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.

4.MD.C.7Identify Subproblems

정답

120

답 120° 는 90° 와 180° 사이의 값으로, 그림과 잘 맞습니다. E 는 직선 CD 위쪽에 있고, EC 와 ED 는 직각보다 넓고 평각보다 좁게 벌어집니다. 다른 길로도 확인할 수 있습니다 — CB 는 원 A 의 지름(2r)이고 E 가 원 A 위에 있으므로 탈레스 정리에 의해 ∠ CEB = 90° 입니다. 여기에 이미 구한 ∠ BED = 30° 를 더하면 ∠ CED = 90° + 30° = 120° 로, (C)가 한 번 더 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 "직선 위 두 각의 합은 180°, 삼각형 내각의 합도 180°" 만 알면 풀 수 있어요!

그림 그리기
가운데 삼각형 각 구하기
왼쪽 삼각형 각 구하기
오른쪽 삼각형 각 구하기
세 각 더하기

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그림 그리기

가운데 삼각형 각 구하기

왼쪽 삼각형 각 구하기

오른쪽 삼각형 각 구하기

세 각 더하기

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