경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2003 · #23
학년 4 pattern
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AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
고양이와 쥐는 각각 고정된 주기로 같은 길을 반복합니다 — 도구 #5(패턴 찾기)가 "반복 주기의 247 번째 항 구하기"에 정확히 들어맞습니다. 두 주기의 길이가 다르므로(고양이 4, 쥐 8) 각 동물을 따로 더 쉬운 문제로 줄여(도구 #9), 한 바퀴 동안의 위치를 적어 두고 247을 주기로 나눈 나머지를 이용해 바로 이동 후의 위치를 찾습니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 그림과 비교해 일치하는 하나를 고릅니다.
고양이 주기 구하기
고양이는 네 사각형을 시계 방향으로 도니 주기는 4 입니다.
4학년 "반복되는 패턴 만들기" 그대로. 네 칸짜리 고리는 네 가지 상태가 반복됩니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern247을 4로 나눈 나머지 구하기
247을 4로 나눈 나머지 3 은 고양이의 3 번째 이동 위치를 뜻합니다.
4학년 "나머지가 있는 나눗셈". 61 바퀴를 완전히 돌고 3 칸을 더 갑니다.
247번 움직인 뒤 고양이가 있는 사각형은 단 3번 움직였을 때 도달하는 사각형과 같다.
▸ 왜?
247번의 움직임은 네 번짜리 완전한 순환 61개와 남는 3번으로 나뉘고, 완전한 순환은 매번 고양이를 출발한 사각형으로 되돌려 놓으므로 위치를 바꾸는 것은 남는 3번뿐이다.
▸ 왜?
고양이의 경로는 길이 4의 고정된 순환이라, 4번 움직일 때마다 처음 있던 사각형으로 되돌아온다.
▸ 왜?
247번의 움직임을 4개씩 같은 묶음으로 세면 완전한 묶음 61개와 남는 3번이 되는데, 이것이 바로 247 = 4 × 61 + 3 이 나타내는 것이다.
▸ 왜?
4개짜리 완전한 묶음 61개는 4 × 61 = 244 번의 움직임을 쓴다. 곱은 그만큼의 같은 묶음을 더한 것이기 때문이다.
▸ 왜?
남는 3번은 그 244번을 247에서 덜어낸 뒤 남는 것일 뿐이다. 247 = 244 + 3 로 빠짐도 겹침도 없이 나뉘기 때문이다.
고양이 위치 읽기
한 바퀴를 따라가면 이동 3 에서 고양이는 오른쪽 아래 사각형에 놓입니다.
4 번마다 반복되므로 고리의 3 번째 칸이 답이고, 그 칸은 오른쪽 아래 사각형입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern쥐 주기 구하기
쥐는 바깥쪽 여덟 변을 시계 반대 방향으로 도니 주기는 8 입니다.
블록 바깥쪽에 변이 여덟 개 있으므로 한 바퀴는 여덟 단계로 이뤄집니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern247을 8로 나눈 나머지 구하기
247을 8로 나눈 나머지 7 은 쥐의 7 번째 이동 변을 뜻합니다.
쥐는 30 바퀴를 완전히 돈 뒤 7 칸을 더 갑니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem쥐 위치 읽기
고리를 따라가면 7 번째 변에서 쥐는 왼쪽 아래 사각형의 아래쪽 변에 놓입니다.
8 단계 고리의 7 번째 자리 — 출발 변으로 돌아오기 바로 한 단계 전입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern그림과 맞춰 보기
고양이가 오른쪽 아래, 쥐가 그 왼쪽 아래 변에 있는 그림은 하나뿐 — (A) 입니다.
독립된 두 조건이 다섯 그림을 하나로 좁힙니다 — 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities큰 이동 횟수도 반복 주기 안에서는 작은 나머지로 줄어듭니다. 고양이는 4 번, 쥐는 8 번마다 반복되므로 247은 고양이의 3 번째 위치(오른쪽 아래)와 쥐의 7 번째 위치(왼쪽 아래 사각형의 아래 변)로 줄어 (A)가 됩니다.
- 고양이 주기 구하기
- 247을 4로 나눈 나머지 구하기
- 고양이 위치 읽기
- 쥐 주기 구하기
- 247을 8로 나눈 나머지 구하기
- 쥐 위치 읽기
- 그림과 맞춰 보기
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