경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2004 · #23

학년 8 rate-ratio

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Distance From Fixed Point Along Path

graph-readingspatial-visualizationpattern-recognitionpythagorean-theorem pattern-recognitionpath-length-comparison ↑ 선수 지식: spatial-visualizationgraph-reading

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

테스는 직사각형 블록 JKLM 의 모서리 J 가 집입니다. 그녀는 J → K → L → M → J 의 순서로 시계 반대 방향으로 한 바퀴를 돕니다. 그래프 (A)~(E) 중에서 세로축이 "집 J 로부터의 직선 거리" 인 그래프 — 시간이 흐름에 따라 거리가 올라갔다가 한 번 최대가 되고 다시 0으로 돌아오는 그래프 — 를 골라야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Distance increases steadily for the entire trip

(B)

Distance rises and falls in stairstep jumps with flat plateaus

(C)

Distance rises to a long flat plateau, then falls (rounded arcs)

(D)

Distance rises to a single peak in the middle, then falls back to 0

(E)

Distance rises, levels off, rises again, then levels off

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

구체적인 그래프 다섯 개가 선택지로 주어졌으니, AMC 객관식의 정석인 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스럽습니다. 정답 그래프가 반드시 가져야 할 "필수 특징 세 가지" 를 적어 두고, 하나라도 어긋나는 그래프는 차례차례 지워 가는 방식입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 특징들을 눈에 보이게 해 줍니다 — 직사각형을 그리고 네 모서리에서의 거리를 표시하면 "올라가고 → 최대 → 내려오는" 모양이 그대로 드러나기 때문입니다. 도구 #9(더 쉬운 관련 문제 풀기)는 변 위에서의 복잡한 피타고라스 곡선을 "네 모서리에서의 거리 값"(0, 변 JK, 대각선 JL, 변 JM, 0)으로 축소해 줍니다 — 곡선의 정확한 모양 없이도 이 다섯 값만으로 정답을 찾을 수 있습니다.

1STEP 1

각 꼭짓점에서 거리 표시하기

JKLM 을 그려 각 모서리의 J 까지 거리를 순서대로 적어요: 0, 변 JK, 대각선 JL(가장 멂), 변 JM, 다시 0.

J → 0, K → JK, L → JL, M → JM, J → 0

2STEP 2

그래프의 세 가지 특징 정하기

이를 그래프의 세 규칙으로: 0 에서 시작·끝, 중간에 봉우리 하나, 어디서도 평평하지 않음.

모양: 0 ↗ JL ↘ 0, 최대는 t = t_중앙 에서 한 번

3STEP 3

선택지 A 지우기

(A) 제거: 끝까지 오르기만 해 0으로 안 돌아와요 — 테스는 집에 돌아오죠.

(A)의 오른쪽 끝 ＞ 0 → 탈락

4STEP 4

선택지 B 지우기

(B) 제거: 평평한 구간은 거리 일정 — J 중심 원에서만 가능한데, 실제론 직선 변을 달려요.

(B)에 가로 구간 존재 → 탈락

5STEP 5

선택지 C 지우기

(C)의 최대값 2 회 → 탈락

6STEP 6

선택지 E 지우기

(E) 제거: 평평한 구간이 있고 0 으로도 안 돌아와 — 규칙 두 개를 어겨요.

(E)에 가로 구간 + 오른쪽 끝 ＞ 0 → 탈락

7STEP 7

선택지 D 확인하기

(D) 확정: 중간 봉우리 하나로 올랐다 0으로 내려오고, 네 구간에 평평함 없음 — 모든 규칙 충족.

(D)가 세 가지 특징을 모두 만족 → (D)

정답

거리가 중간에 한 번 최고점까지 오른 뒤 0으로 돌아온다

6 × 4 블록으로 확인해 봅시다. 변 JK = 4, 대각선 JL = √(4²+6²) ≈ 7.21, 변 JM = 6. 네 모서리에서의 거리 0, 4, 7.21, 6, 0은 가운데 한 번의 봉우리를 거쳐 다시 0으로 돌아옵니다 — 그래프 (D)의 모양 그대로입니다. 변 JK 와 MJ 를 달리는 두 구간은 그래프에서 직선 조각으로 보이고, KL 과 LM 을 달리는 두 구간은 봉우리를 향해 부드럽게 휘는 조각으로 보입니다. 어느 구간도 평평하지 않으므로 (B), (C), (E)는 어쩔 수 없이 탈락입니다.

💡핵심 정리

선택지가 그래프일 때는 정답이 반드시 가져야 할 특징 두세 가지(0 에서 시작, 최대 한 번, 0 에서 끝)만 적어 두고 하나라도 어긋나는 그래프를 지워 가면 돼요 — 8학년 정성적 그래프 해석만으로 충분합니다!

각 꼭짓점에서 거리 표시하기
그래프의 세 가지 특징 정하기
선택지 A 지우기
선택지 B 지우기
선택지 C 지우기
선택지 E 지우기
선택지 D 확인하기

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