경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2005 · #16
학년 4 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"반드시" 라는 말이 도구 #14(극단의 원리)의 신호입니다. 답은 운 좋게 빨리 모이는 경우가 아니라, 가장 운 나쁜 순서가 강요하는 값이에요. 가장 운 나쁜 경우는 한 색깔이 5에 닿는 순간을 최대한 미루는 것 — 세 색깔에 가능한 한 고르게 펼쳐 꺼내는 거죠. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 작은 버전(예: 2 색에서 3 짝)으로 감을 잡고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 색깔별 최악의 누적을 적어 두면 셈 실수가 없습니다.
쉬운 경우로 해 보기
몸풀기: 2 색에서 3 짝 모으기. 최악은 색마다 2 짝, 그다음 한 짝이 셋째를 강제 — 규칙은 (목표−1)×(색깔 수)+1.
3학년의 "같은 묶음" 곱셈 그림이에요. 묶음은 색깔이고, 한 묶음은 "목표 -1" 까지 채울 수 있어요.
3.OA.A.1Solve An Easier Related Problem최악의 경우 만들기
이제 진짜 문제: 3 색, 목표 5. 최악은 어떤 색도 5가 되기 전 색마다 4 짝 — 빨강 4, 흰색 4, 파랑 4 = 12.
3 묶음 × 4 짝의 "같은 묶음" 그림이 곧 3 × 4 = 12. 세 색 모두 아직 5가 아닙니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List양말 하나 더 뽑기
극단의 원리: 12 짝(각 4) 뒤 한 짝 더 뽑으면 빨강·흰색·파랑 중 하나라 그 색이 5로 오름 — 13이면 보장, 12는 안 됨.
"최악 + 1" 은 3학년 두 단계 사고예요. 가장 운 나쁜 합을 구한 뒤 1을 더해 임계점을 넘기는 거죠.
양말 열세 짝을 뽑으면 그중 다섯 짝이 한 색으로 몰릴 수밖에 없다.
▸ 왜?
어떤 색도 다섯에 이르지 않으려면 모든 색이 넷 이하에서 멈춰야 하는데, 넷씩 담은 세 색은 합쳐도 양말 열두 짝밖에 담지 못한다.
▸ 왜?
양말 한 짝은 세 색 중 딱 하나를 띠고 남는 것이 없으므로, 뽑은 양말은 빨강·하양·파랑 개수를 그대로 다시 더한 것이다.
▸ 왜?
많아야 넷씩 담은 세 색은 네 개짜리 같은 묶음 셋, 곧 열두 짝이다.
▸ 왜?
양말 열세 짝은 색마다 넷이라는 상한이 허락하는 열두 자리보다 많아서, 각자 상한 안의 자리를 하나씩 차지할 수 없다 — 적어도 한 색은 다섯 번째 짝을 받을 수밖에 없다.
12개로는 안 됨 확인하기
더 작은 값은 안 됨 확인: 12 짝만 뽑으면 4+4+4 분배가 가능해 어느 색도 5가 아님 — 12 는 보장이 못 됨.
반례 한 줄로 후보 답을 탈락시키는 4학년 "답이 말이 되나?" 습관을 거꾸로 쓴 거예요.
4.OA.A.3Extreme Principle"반드시" 문제는 가장 운 나쁜 경우로 풉니다. 가능한 한 고르게 펼친 다음, 한 짝만 더 — 그 한 짝이 보장값을 만듭니다.
- 쉬운 경우로 해 보기
- 최악의 경우 만들기
- 양말 하나 더 뽑기
- 12개로는 안 됨 확인하기
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