AMC 8 · 2006 · #21

학년 5 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

volume-rectangular-prismarea-rectangleslinear-equations-one-var identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prismarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

직사각형 수조의 바닥은 100 cm × 40 cm 이고 높이는 50 cm 입니다. 물은 37 cm 깊이까지 채워져 있습니다. 부피가 1000 cm³ 인 돌을 넣어 완전히 잠기게 했을 때, 수면이 몇 cm 올라가는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.25

(B)

0.5

(C)

(D)

1.25

(E)

2.5

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 물리적 표현 만들기

이야기 자체가 물리적이에요. 돌이 들어가면 물은 갈 곳이 위쪽뿐입니다. 도구 #10(물리적 표현 만들기)으로 돌이 들어가는 장면을 떠올리면 핵심이 분명해져요 — 돌은 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올리고, 그 물은 같은 직사각형 바닥 위에 얇은 판으로 퍼집니다. 그 판의 부피가 곧 돌의 부피죠. 도구 #7(하위 문제로 나누기)로 풀이를 두 단계로 쪼갭니다 — (i) 바닥 넓이를 구하고, (ii) 돌의 부피를 바닥 넓이로 나누어 판의 두께(=수면 상승)를 얻습니다. 문제에 주어진 37 cm 와 50 cm 는 돌이 들어갈 수 있고 물이 넘치지 않음을 보장해 주는 장치일 뿐, 계산에는 들어가지 않아요.

1STEP 1

바닥 넓이를 구합니다 — 수면 높이와 무관하게 4000 cm² 직사각형은 그대로예요.

바닥 넓이 = 100 × 40 = 4000 cm²

2STEP 2

잠긴 돌은 자기 부피만큼 물을 얇은 판으로 밀어 올리니, 판의 부피는 1000 cm³입니다.

판의 부피 = 돌의 부피 = 1000 cm³

3STEP 3

그 판에 직육면체 부피 규칙을 적용해요 — 부피 = 바닥 넓이 × 두께, 두께가 곧 상승 높이 h예요.

판의 부피 = 바닥 넓이 × h → 1000 = 4000 × h

4STEP 4

양변을 4000으로 나누면 상승 높이 h = $\frac{1000}{4000}$ = 0.25 cm, 선택지 (A).

h =

\frac{1000}{4000}

\frac{1}{4}

= 0.25 cm → (A)

정답

0.25

크기 감각을 점검해 봅시다. 바닥 넓이 4000 cm² 는 돌의 부피 1000 cm³ 에 비해 매우 넓으니, 1000 을 4000 위에 펴면 아주 얇은 막이 됩니다 — 실제로 0.25 cm 는 1 cm 의

\frac{1}{4}

로, 매우 작은 값이 맞아요. 새 수면은 37 + 0.25 = 37.25 cm 이고 수조 높이 50 cm 보다 훨씬 낮으니 넘치지도 않습니다 — 즉 문제에 주어진 높이와 처음 깊이는 셋업이 말이 됨을 확인시켜 주는 장치이지 계산식에 들어가는 값이 아닙니다. 다른 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다: 0.5 는 100 × 40 대신 50 × 40 = 2000 을 쓴 경우, 1 과 1.25 는 넓이 계산이 어긋난 경우, 2.5 는

\frac{1000}{400}

을 한 경우입니다.

💡핵심 정리

잠긴 돌은 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올리고, 그 물은 수조 바닥 위에 얇은 판처럼 펼쳐져요 — 돌의 부피를 바닥 넓이로 나누면 곧 수면 상승입니다.

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