AMC 8 · 2006 · #5

학년 5 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-rectanglesarea-trianglesreflection-symmetrysimilar-figures area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesline-symmetry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

큰 정사각형 안에서 네 변의 중점이 A, B, C, D 입니다. 이 네 점을 차례로 이으면 안쪽에 기울어진 작은 정사각형이 생깁니다. 큰 정사각형의 넓이가 60 일 때, 작은 정사각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 주어져 있지만, 작은 정사각형의 두 대각선 AC 와 BD 를 더 그어 두면 한눈에 풀립니다. 이 두 대각선은 정확히 가로·세로 방향이고, 중점의 대칭성 덕분에 큰 정사각형 전체가 합동인 직각삼각형 8 개로 나뉩니다. 이렇게 8 개의 같은 삼각형이 보이면 그다음은 세기만 하면 됩니다 — 4 개는 작은 정사각형을 채우고 나머지 4 개는 모서리에 남으므로 작은 정사각형은 큰 정사각형의 정확히 절반입니다. 대수도, 피타고라스 정리도 필요 없습니다.

1STEP 1

작은 정사각형의 두 대각선 AC 와 BD 를 그으면 큰 정사각형의 중심에서 만납니다.

선분 AC (수직) 와 BD (수평) 를 중심을 지나도록 추가

2STEP 2

이 대각선과 작은 정사각형의 변이 큰 정사각형을 8 개의 합동 직각삼각형으로 자릅니다.

큰 정사각형 = 8 개의 합동 직각삼각형

3STEP 3

두 대각선이 작은 정사각형을 8 개 중 4 개로 가르고, 나머지 4 개는 모서리를 채우므로 작은 정사각형은 큰 정사각형의 절반입니다.

작은 정사각형 = 8 개 중 4 개 =

\frac{4}{8}

(큰 정사각형의 비율) =

\frac{1}{2}

4STEP 4

60 의 절반이 작은 정사각형의 넓이 30 이고, 답은 (D) 입니다.

작은 정사각형의 넓이 =

\frac{1}{2}

× 60 = 30 → (D)

정답

변의 길이로도 한 번 확인해 봅시다. 큰 정사각형의 한 변을 s 라 하면 s² = 60. 작은 정사각형의 한 변은 두 변이

\frac{s}{2}

\frac{s}{2}

인 직각삼각형의 빗변이므로 그 길이의 제곱은 (

\frac{s}{2}

)² + (

\frac{s}{2}

)² =

\frac{s²}{2}

= 30. 작은 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이므로 정확히 30. 답 (D) 와 일치하며, 그림에서 "절반" 을 본 추론과도 맞습니다. 또한 답은 분명히 60 보다 작고 60 의

\frac{1}{4}

보다는 크므로 (A), (B), (E) 는 눈으로도 걸러집니다.

💡핵심 정리

정사각형의 네 중점을 이으면 안쪽 정사각형은 항상 바깥 정사각형 넓이의 절반입니다. 대각선 두 개만 더 그으면 그 사실이 계산이 아니라 "세는 일" 로 보입니다.

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