AMC 8 · 2006 · #7

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

area-circlesperimeterformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesperimeter

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 원이 서로 다른 방식으로 주어져 있습니다. 원 X 의 반지름은 π, 원 Y 의 둘레는 8π, 원 Z 의 넓이는 9π 입니다. 세 원을 반지름이 작은 것부터 큰 것 순서로 나열하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

X, Y, Z

(B)

Z, X, Y

(C)

Y, X, Z

(D)

Z, Y, X

(E)

X, Z, Y

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공식 활용하기

세 원이 각각 다른 "언어" 로 표현되어 있습니다 — 반지름, 둘레, 넓이. 비교하려면 도구 #12(표현 바꾸기)의 원칙대로 모두 같은 언어로 통일해야 합니다. 세 중 둘이 짧은 공식 한 번이면 반지름으로 바뀌므로 반지름이 자연스러운 선택입니다. 그다음은 도구 #15(공식 활용하기) 가 해결합니다 — C = 2π r 로 둘레에서 Y 의 반지름을, A = π r² 로 넓이에서 Z 의 반지름을 얻습니다. 세 반지름이 모두 평범한 수가 되면, 남는 일은 π 를 3 과 4 와 비교하는 것뿐입니다.

1STEP 1

원 X 는 이미 반지름으로 주어져 있습니다 — r_X = π 로 적고 넘어갑니다.

r_X = π

2STEP 2

Y 의 둘레를 C = 2π r 로 변환: 2π r_Y = 8π 에서 r_Y = 4.

2π r_Y = 8π → r_Y =

\frac{8\pi}{2\pi}

= 4

3STEP 3

Z 의 넓이를 A = π r² 로 변환: π r_Z² = 9π 에서 r_Z² = 9, 따라서 r_Z = 3.

π r_Z² = 9π → r_Z² = 9 → r_Z = 3

4STEP 4

세 반지름을 수로 비교: 3 ＜ π ＜ 4 이므로 r_Z ＜ r_X ＜ r_Y.

r_Z = 3 ＜ r_X = π ≈ 3.14 ＜ r_Y = 4

5STEP 5

그 반지름 순서대로 원을 읽어 정답 (B) 를 얻습니다.

Z, X, Y → (B)

정답

Z, X, Y

반대 방향으로 한 번 더 확인합시다. r_Y = 4 면 둘레는 2π(4) = 8π — 일치. r_Z = 3 이면 넓이는 π(3)² = 9π — 일치. 그리고 π 는 잘 알려진 대로 3 보다 약간 크고 4 보다는 분명히 작으므로 X 는 Z 와 Y 사이에 위치합니다. 어느 방향으로 봐도 Z, X, Y 순서가 맞습니다.

💡핵심 정리

원이 반지름·둘레·넓이처럼 서로 다른 방식으로 주어졌다면, 먼저 모두 같은 형태로 통일하세요. 세 원이 모두 반지름이 되면, 원의 정렬은 곧 세 수의 정렬입니다.

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