AMC 8 · 2019 · #17

학년 5 arithmeticpattern
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation
fraction-multiplicationpattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationpattern-recognition
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
(k⋅(k+2))(k+1)\frac{(k · (k+2))}{(k+1)} · (k+1) 꼴의 분수를 k = 1 부터 k = 98 까지 총 98 개 곱한 값을 구하는 문제입니다. 첫 항은 (1⋅3)(2⋅2)\frac{(1 · 3)}{(2 · 2)} 이고 마지막 항은 (98⋅100)(99⋅99)\frac{(98 · 100)}{(99 · 99)} 입니다. 이 거대한 곱이 어떤 한 개의 분수로 정리될까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{2}$
(B)
$\frac{50}{99}$
(C)
$\frac{9800}{9801}$
(D)
$\frac{100}{99}$
(E)
50

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

98 개의 항을 한꺼번에 곱하는 건 너무 큽니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 알려 주는 길은 단순합니다 — 2 개, 3 개, 4 개만 곱해 보고 결과가 어떻게 변하는지 관찰한 뒤 일반 공식을 추측합니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 그 작은 결과들을 깔끔한 규칙으로 읽어 냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 는 가장 깔끔한 지름길을 줍니다 — 각 항을 k(k+1)\frac{k}{(k+1)} · (k+2)(k+1)\frac{(k+2)}{(k+1)} 두 조각으로 쪼개면 곱 전체가 두 개의 연쇄 약분(telescoping)으로 변해 한 줄 만에 무너집니다. 작은 사례로 공식을 발견하고, 연쇄 약분으로 그 공식을 확인하는 이중 검증 전략입니다.

1STEP 1

가장 쉬운 경우부터 — 앞의 두 항(k = 1, 2)만 분자끼리·분모끼리 곱해 봅니다.

(1⋅3)(2⋅2)\frac{(1 · 3)}{(2 · 2)} · (2⋅4)(3⋅3)\frac{(2 · 4)}{(3 · 3)} = (1⋅2⋅3⋅4)(2⋅2⋅3⋅3)\frac{(1 · 2 · 3 · 4)}{(2 · 2 · 3 · 3)} = (1⋅4)(2⋅3)\frac{(1 · 4)}{(2 · 3)} = 46\frac{4}{6} = 23\frac{2}{3}
2STEP 2

두 항의 곱은 23\frac{2}{3} 로 정리됩니다. 이제 세 항(k = 1, 2, 3)으로 늘려 같은 수가 약분되는 모습을 봅니다.

3 개: (1⋅3)(2⋅2)\frac{(1 · 3)}{(2 · 2)} · (2⋅4)(3⋅3)\frac{(2 · 4)}{(3 · 3)} · (3⋅5)(4⋅4)\frac{(3 · 5)}{(4 · 4)} = (1⋅5)(2⋅4)\frac{(1 · 5)}{(2 · 4)} = 58\frac{5}{8}
3STEP 3

작은 사례를 나란히 적으면 끝쪽 숫자만 남아 n 개일 때 (1⋅(n+2))(2⋅(n+1))\frac{(1 · (n+2))}{(2 · (n+1))} 꼴이 됩니다.

n=2: (1⋅4)(2⋅3)\frac{(1 · 4)}{(2 · 3)}, n=3: (1⋅5)(2⋅4)\frac{(1 · 5)}{(2 · 4)}, n=4: (1⋅6)(2⋅5)\frac{(1 · 6)}{(2 · 5)}, …, n: (1⋅(n+2))(2⋅(n+1))\frac{(1 · (n+2))}{(2 · (n+1))}
4STEP 4

각 항을 k(k+1)\frac{k}{(k+1)} · (k+2)(k+1)\frac{(k+2)}{(k+1)} 로 쪼개면 두 연쇄가 약분되어 199\frac{1}{99} 와 50 만 남습니다.

연쇄 1 = 199\frac{1}{99}, 연쇄 2 = 1002\frac{100}{2} = 50
5STEP 5

두 연쇄를 곱하면 199\frac{1}{99} · 50 = 5099\frac{50}{99} — n = 98 을 넣은 공식과도 일치해 답은 (B) 입니다.

P = 199\frac{1}{99} · 50 = 5099\frac{50}{99} → (B)
정답
5099\frac{50}{99}
각 항 (k(k+2))((k+1)2)\frac{(k(k+2))}{((k+1)²)} = 1 - 1((k+1)2)\frac{1}{((k+1)²)} 는 1 보다 살짝 작은 값입니다 (예: (1⋅3)4\frac{(1 · 3)}{4} = 0.75, (2⋅4)9\frac{(2 · 4)}{9} ≈ 0.889, (3⋅5)16\frac{(3 · 5)}{16} ≈ 0.9375 식으로 1 에 다가갑니다). 1 보다 작은 수를 98 번 곱하면 결과는 반드시 1 보다 작아야 하고, 특히 앞쪽 항들이 결과를 1 에서 멀리 끌어내립니다. 5099\frac{50}{99} ≈ 0.505 — 거의 12\frac{1}{2} — 는 이 직관과 정확히 일치합니다. (A) 12\frac{1}{2} 는 위험하게 가깝지만 공식상 정확한 값은 5099\frac{50}{99} 이지 12\frac{1}{2} 가 아니며, (C) 98009801\frac{9800}{9801} 은 1 에 너무 가까워 앞쪽 항들의 영향이 무시된 결과라 틀렸고, (D), (E) 는 1 보다 크니 애초에 불가능합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우 몇 개로 패턴을 찾으면 거대한 곱이 저절로 정리돼요!

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