경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #17

학년 5 arithmeticpattern

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Product Ratio Cancellation

fraction-multiplicationpattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationpattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

\frac{(k · (k+2))}{(k+1)}

· (k+1) 꼴의 분수를 k = 1부터 k = 98까지 총 98 개 곱한 값을 구하는 문제입니다. 첫 항은

\frac{(1 · 3)}{(2 · 2)}

이고 마지막 항은

\frac{(98 · 100)}{(99 · 99)}

입니다. 이 거대한 곱이 어떤 한 개의 분수로 정리될까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{50}{99}$

(C)

$\frac{9800}{9801}$

(D)

$\frac{100}{99}$

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

98 개의 항을 한꺼번에 곱하는 건 너무 큽니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 알려 주는 길은 단순합니다 — 2 개, 3 개, 4 개만 곱해 보고 결과가 어떻게 변하는지 관찰한 뒤 일반 공식을 추측합니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 그 작은 결과들을 깔끔한 규칙으로 읽어 냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 가장 깔끔한 지름길을 줍니다 — 각 항을 k/(k+1) · (k+2)/(k+1) 두 조각으로 쪼개면 곱 전체가 두 개의 연쇄 약분(telescoping)으로 변해 한 줄 만에 무너집니다. 작은 사례로 공식을 발견하고, 연쇄 약분으로 그 공식을 확인하는 이중 검증 전략입니다.

1STEP 1

두 항만 곱해 보기

가장 쉬운 경우부터 — 앞의 두 항(k = 1, 2)만 분자끼리·분모끼리 곱해 봅니다.

(1 · 3)/(2 · 2) · (2 · 4)/(3 · 3) = (1 · 2 · 3 · 4)/(2 · 2 · 3 · 3) = (1 · 4)/(2 · 3) = 4/6 = 2/3

2STEP 2

작은 곱 깔끔하게 계산하기

두 항의 곱은 $\frac{2}{3}$ 로 정리됩니다. 이제 세 항(k = 1, 2, 3)으로 늘려 같은 수가 약분되는 모습을 봅니다.

3 개: (1 · 3)/(2 · 2) · (2 · 4)/(3 · 3) · (3 · 5)/(4 · 4) = (1 · 5)/(2 · 4) = 5/8

3STEP 3

규칙 읽어내기

작은 사례를 나란히 적으면 끝쪽 숫자만 남아 n 개일 때 $\frac{(1 · (n+2))}{(2 · (n+1))}$ 꼴이 됩니다.

n=2: (1 · 4)/(2 · 3), n=3: (1 · 5)/(2 · 4), n=4: (1 · 6)/(2 · 5), …, n: (1 · (n+2))/(2 · (n+1))

4STEP 4

쪼개서 줄줄이 약분하기

각 항을 $\frac{k}{(k+1)}$ · $\frac{(k+2)}{(k+1)}$ 로 쪼개면 두 연쇄가 약분되어 $\frac{1}{99}$ 와 50 만 남습니다.

연쇄 1 = 1/99, 연쇄 2 = 100/2 = 50

5STEP 5

두 사슬 합치기

두 연쇄를 곱하면 $\frac{1}{99}$ · 50 = $\frac{50}{99}$ — n = 98을 넣은 공식과도 일치해 답은 (B)입니다.

P = 1/99 · 50 = 50/99 → (B)

정답

50/99

각 항

\frac{(k(k+2))}{((k+1)²)}

= 1 -

\frac{1}{((k+1)²)}

는 1 보다 살짝 작은 값입니다 (예:

\frac{(1 · 3)}{4}

= 0.75,

\frac{(2 · 4)}{9}

≈ 0.889,

\frac{(3 · 5)}{16}

≈ 0.9375 식으로 1에 다가갑니다). 1 보다 작은 수를 98 번 곱하면 결과는 반드시 1 보다 작아야 하고, 특히 앞쪽 항들이 결과를 1 에서 멀리 끌어내립니다.

\frac{50}{99}

≈ 0.505 — 거의

\frac{1}{2}

— 는 이 직관과 정확히 일치합니다. (A)

\frac{1}{2}

는 위험하게 가깝지만 공식상 정확한 값은

\frac{50}{99}

이지

\frac{1}{2}

가 아니며, (C)

\frac{9800}{9801}

은 1에 너무 가까워 앞쪽 항들의 영향이 무시된 결과라 틀렸고, (D), (E)는 1 보다 크니 애초에 불가능합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우 몇 개로 패턴을 찾으면 거대한 곱이 저절로 정리돼요!

두 항만 곱해 보기
작은 곱 깔끔하게 계산하기
규칙 읽어내기
쪼개서 줄줄이 약분하기
두 사슬 합치기

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두 항만 곱해 보기

작은 곱 깔끔하게 계산하기

규칙 읽어내기

쪼개서 줄줄이 약분하기

두 사슬 합치기

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