경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2022 · #8
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
20 개의 분수를 그대로 곱하면 분자·분모가 모두 20 자리에 가까운 수가 됩니다 — AMC 8 시간 안에 손으로 풀기엔 무리이고, 곧 "숨은 구조를 찾아라" 라는 신호입니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심: 분자에 등장하는 k 가 두 칸 앞 분수((k-2)/k)의 분모로 이미 등장해 있어서 거의 모든 항이 약분됩니다. 그 패턴을 손으로 먼저 확인하려고 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 분수 3 개·4 개짜리 미니 버전을 먼저 풀어 보고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 보기와 한 번 더 대조합니다.
짧은 곱으로 시험하기
앞의 세 분수 ·· 만 풀면, 위의 3과 아래 3이 약분돼 = .
겁나 보이는 20 개짜리 곱이 일단 3 개짜리로 줄면 직접 계산이 됩니다.
5.NF.B.4Solve An Easier Related Problem작은 경우 한 번 더 해보기
네 번째 분수까지 붙이면 3과 4가 약분돼, 위에는 1·2, 아래에는 5·6만 남아 이 됩니다.
두 번째 케이스에서도 같은 모양 — "앞의 분자 두 개와 끝의 분모 두 개만 살아남는다" — 가 나오면 이 패턴이 진짜라는 신호입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern일반 규칙 말하기
원래 곱에서도 3부터 20까지 전부 약분되고, 위에는 1·2, 아래에는 21·22만 남습니다: .
분자와 분모에서 같은 수를 똑같이 지워도 분수의 값은 그대로 — 짧아질 뿐입니다.
하나의 분수로 쓰면 분자는 1 · 2 · 3… 20, 분모는 3 · 4… 22가 된다. 3부터 20까지의 정수 덩어리가 분자와 분모 양쪽에 똑같이 들어 있으므로, 그 덩어리를 약분하면 정확히 (1 · 2)/(21 · 22)만 남는다.
▸ 왜?
그 하나의 분자와 분모 안의 인수들은 순서를 바꾸고 다시 묶을 수 있어서, 분자는 (1 · 2) 곱하기 덩어리 (3 · 4… 20)로, 분모는 같은 덩어리 곱하기 (21 · 22)로 정리된다.
▸ 왜?
곱하는 수의 순서를 바꿔도 곱은 절대 변하지 않으므로, 같은 수들을 분자와 분모에서 나란히 맞출 수 있다.
▸ 왜?
어느 수들을 먼저 묶어 곱하든 곱은 절대 변하지 않으므로, 길게 겹치는 3 · 4… 20을 하나의 덩어리로 다룰 수 있다.
▸ 왜?
이제 똑같은 덩어리 (3 · 4… 20)가 분자와 분모 양쪽에 인수로 자리하므로, 그것을 빼내면 작은 분수에 그 덩어리를 같은 덩어리로 나눈 것을 곱한 꼴이 되고, 그 비는 1이다.
▸ 왜?
같은 덩어리를 그 자신으로 나누면 1이고, 분수에 1을 곱하면 값이 그대로 남으므로, 겹치는 덩어리를 없애도 곱은 변하지 않는다.
남은 수끼리 곱하기
남은 수를 곱하면 분자는 1×2 = 2, 분모는 21×22 = 462 이므로 곱은 입니다.
두 개의 작은 분수를 곱하는 것은 5학년 "분수 × 분수" 계산 그대로입니다.
5.NF.B.4Look For A Pattern기약분수로 약분하기
위·아래를 2로 나눠 를 로 약분하면 보기 (B)와 일치합니다.
위·아래를 같은 수 2로 나누어 같은 값의 더 간단한 분수를 만드는 것은 4학년 "동치분수" 의 핵심 아이디어입니다.
4.NF.A.1Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 버전으로 약분 패턴을 먼저 찾으면, 무서워 보이던 20 개짜리 곱이 결국 로 줄어들어요!
- 짧은 곱으로 시험하기
- 작은 경우 한 번 더 해보기
- 일반 규칙 말하기
- 남은 수끼리 곱하기
- 기약분수로 약분하기
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