AMC 8 · 2007 · #15

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

if-then-reasoninglogical-deductioninterval-arithmetic caseworkcontradiction-elementary ↑ 선수 지식: interval-arithmeticif-then-reasoning

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

세 수 a, b, c 가 0 ＜ a ＜ b ＜ c 를 만족합니다. 보기 중 절대 성립할 수 없는 것은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$a + c < b$

(B)

$$a \cdot b < c$$

(C)

$a + b < c$

(D)

$$a \cdot c < b$$

(E)

$$\dfrac{b}{c} = a$$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

문제가 "불가능한 것"을 묻고 있으니 도구 #3(가능성 지우기)이 그대로 들어맞아요. 성립하는 보기는 하나씩 지워 나가고, 끝까지 안 지워지는 하나가 답입니다. 보기를 "가능"으로 판정해서 지우는 데에는 도구 #6(추측하고 확인하기) — 0 ＜ a ＜ b ＜ c 와 그 보기를 모두 만족하는 구체적인 수를 직접 잡아보면 충분해요. "불가능"으로 남는 (A) 는 부등식의 기본 성질(양수를 더하면 더 커진다)로 증명합니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기)을 굳이 쓸 필요는 없습니다.

1STEP 1

(B) a · b ＜ c 시험: a = 1, b = 2, c = 5 로 잡으면 a · b = 2 ＜ 5, (B) 는 가능하니 제외.

a = 1, b = 2, c = 5 → a · b = 2 ＜ 5 = c ✓

2STEP 2

a = 1, b = 2, c = 10 → a + b = 3 ＜ 10 = c ✓

3STEP 3

(D) a · c ＜ b: 자연수로는 안 되니 a = $\frac{1}{2}$ , b = 1, c = $\frac{3}{2}$ 면 a · c = $\frac{3}{4}$ ＜ 1, (D) 도 제외.

a =

\frac{1}{2}

, b = 1, c =

\frac{3}{2}

→ a · c =

\frac{3}{4}

＜ 1 = b ✓

4STEP 4

(E) $\frac{b}{c}$ = a: a = $\frac{1}{2}$ , c = 4 로 두고 b = 2 로 맞추면 $\frac{b}{c}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ = a, (E) 도 제외.

a =

\frac{1}{2}

, b = 2, c = 4 →

\frac{b}{c}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

= a ✓

5STEP 5

남은 건 (A). b ＜ c 이고 a ＞ 0 이니 양수 a 를 더하면 더 커져 b ＜ a + c — (A) 와 정반대라 (A) 는 불가능.

b ＜ c_주어짐 이고 a ＞ 0_주어짐 → b ＜ c ＜ c + a = a + c → b ＜ a + c → (A)

정답

a + c ＜ b

(A) 가 정말 불가능한지 숫자로 확인해 봅시다. a = 1, b = 2, c = 3 이면 a + c = 4 ＞ b = 2. a =

\frac{1}{10}

, b =

\frac{1}{2}

, c = 1 이어도 a + c = 1.1 ＞ b = 0.5. a 를 아무리 작게 잡아도 c 자체가 이미 b 보다 크고 거기에 양수를 더하기만 하니, a + c ＜ b 는 영영 만들 수 없어요. 나머지 네 보기는 모두 구체적 예가 나왔으니 남은 (A) 가 답입니다.

💡핵심 정리

양수를 더하면 항상 더 커진다 — 그래서 a + c 는 b 아래로 절대 내려가지 않아요. 이 한 가지 규칙만 보이면 이 AMC 8 부등식 문제는 결판이 납니다.

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