경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2007 · #16
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제의 핵심은 둘레가 일정한 속도로 늘어나는 동안 넓이는 어떻게 변하는지를 보는 것입니다. 그래서 도구 #5(패턴 찾기)가 딱 맞아요. 둘레는 반지름이 1 늘 때마다 2π 씩 같은 양으로 증가하지만, 넓이는 제곱의 차 3, 5, 7, 9 만큼 점점 더 크게 증가합니다. 도구 #2(정리된 표 만들기)로 C 와 A 를 나란히 적어 두면 "x 간격은 일정, y 간격은 점점 커짐" 이라는 패턴이 한눈에 보이고, 그 패턴에 맞는 선택지는 단 하나입니다.
둘레와 넓이 나열하기
각 반지름에 대해 C = 2π r 과 A = π r² 을 써서 (C, A)를 표로 정리합니다.
7학년 원 공식을 그대로 대입하기. C 는 r 의 일차식, A 는 r 의 제곱(π 곱하기).
7.G.B.4Make A Systematic List가로 간격 확인하기
C 값은 매번 2π 씩 늘어나 다섯 x 위치가 일정한 간격이 됩니다.
반지름이 두 배, 세 배가 되면 둘레도 두 배, 세 배가 됩니다. 일정한 보폭.
6.RP.A.1Look For A Pattern세로 간격 확인하기
A 값 π, 4π, 9π, 16π, 25π 는 3π, 5π, 7π, 9π 만큼 커지며 간격이 점점 벌어집니다.
연속된 제곱수의 차는 홀수 3, 5, 7, 9입니다. 전형적으로 "점점 커지는" 패턴.
넓이 값은 점점 더 큰 폭으로 올라간다 — 그 폭은 3π, 5π, 7π, 9π — 그래서 점들은 하나의 고정된 간격이 아니라 점점 더 빠르게 위로 올라가야 한다.
▸ 왜?
각 넓이는 π에 제곱수(1, 4, 9, 16, 25)를 곱한 것이고, 한 제곱수에서 다음 제곱수로의 폭은 (r+1)² - r² = 2r+1이다.
▸ 왜?
(r+1)²을 전개하면 r² + 2r + 1이 되므로, r²을 빼면 정확히 2r + 1이 남는다.
▸ 왜?
그 폭 2r + 1은 r이 커질 때마다 커지므로, 다음 폭 3π, 5π, 7π, 9π는 각각 앞의 것보다 크다.
▸ 왜?
2r은 r이 든 같은 묶음 두 개라, r이 크면 2r도 커지고, 거기에 하나를 더해도 여전히 더 크다.
규칙에 맞는 그래프 고르기
(A)만 맞습니다: x 간격은 일정하고 y 간격이 2, 3, 4, 5 로 계속 커지는 이차 모양.
일차 그래프는 위로 가는 폭이 같고, 이차 그래프는 위로 가는 폭이 점점 커집니다. (A)가 이차 모양.
8.F.A.3Look For A Pattern둘레 C = 2π r 은 일정한 속도로 자라지만, 넓이 A = π r²은 3π, 5π, 7π, 9π 라는 홀수 간격으로 점점 더 빨리 자랍니다. 그래프가 위로 휘면서 가팔라지는 모양이 바로 (A)입니다.
- 둘레와 넓이 나열하기
- 가로 간격 확인하기
- 세로 간격 확인하기
- 규칙에 맞는 그래프 고르기
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