AMC 8 · 2007 · #16

학년 8 geometry-2d

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graph-readingarea-circlesperimeterpattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: area-circlesperimeter

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 r = 1, 2, 3, 4, 5 인 원 다섯 개에 대해, Amanda 는 각 원마다 (C, A) 점을 그립니다. 여기서 C = 2π r 은 둘레, A = π r² 은 넓이입니다. 다섯 개의 산점도 중 그녀의 그래프가 될 수 있는 것은 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 4, 7, 11, 16 — gaps grow 2, 3, 4, 5 (concave-up, quadratic-like)

(B)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 9, 6, 6, 9, 15 — dips then rises (non-monotonic)

(C)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 6, 8, 6, 2 — rises then falls (inverted-U)

(D)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 5, 8, 11, 14 — gaps all 3 (linear)

(E)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 15, 10, 6, 3, 1 — strictly decreasing

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

이 문제의 핵심은 둘레가 일정한 속도로 늘어나는 동안 넓이는 어떻게 변하는지를 보는 것입니다. 그래서 도구 #5(패턴 찾기)가 딱 맞아요. 둘레는 반지름이 1 늘 때마다 2π 씩 같은 양으로 증가하지만, 넓이는 제곱의 차 3, 5, 7, 9 만큼 점점 더 크게 증가합니다. 도구 #2(정리된 표 만들기)로 C 와 A 를 나란히 적어 두면 "x 간격은 일정, y 간격은 점점 커짐" 이라는 패턴이 한눈에 보이고, 그 패턴에 맞는 선택지는 단 하나입니다.

1STEP 1

각 반지름에 대해 C = 2π r 과 A = π r² 을 써서 (C, A) 를 표로 정리합니다.

r = 1: (C, A) = (2π, π); r = 2: (4π, 4π); r = 3: (6π, 9π); r = 4: (8π, 16π); r = 5: (10π, 25π)

2STEP 2

C 값은 매번 2π 씩 늘어나 다섯 x 위치가 일정한 간격이 됩니다.

이웃한 점들 사이 Δ C = 2π → 가로 간격 일정

3STEP 3

A 값 π, 4π, 9π, 16π, 25π 는 3π, 5π, 7π, 9π 만큼 커지며 간격이 점점 벌어집니다.

A 의 간격: 4π-π=3π, 9π-4π=5π, 16π-9π=7π, 25π-16π=9π

4STEP 4

(A) 만 맞습니다: x 간격은 일정하고 y 간격이 2, 3, 4, 5 로 계속 커지는 이차 모양.

(A) y 간격: 4-2=2, 7-4=3, 11-7=4, 16-11=5 — 계속 증가 →(A)

정답

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 4, 7, 11, 16 — gaps grow 2, 3, 4, 5 (concave-up, quadratic-like)

π ≈ 3.14 로 어림해서 확인합니다. 실제 (C, A) 는 대략 (6.3, 3.1), (12.6, 12.6), (18.8, 28.3), (25.1, 50.3), (31.4, 78.5). A 값 3.1, 12.6, 28.3, 50.3, 78.5 의 간격은 9.5, 15.7, 22.0, 28.3 으로 점점 커집니다. 이건 (A) 의 위로 휘는 곡선 모양이지, (D) 의 직선 모양이 아니에요. 또한 A = C²/4π 이므로 C 를 가로축으로 그린 A 의 그래프는 원점에서 시작해 위로 열린 포물선입니다. 다섯 점이 그런 곡선 위에 놓이는 선택지는 (A) 뿐입니다.

💡핵심 정리

둘레 C = 2π r 은 일정한 속도로 자라지만, 넓이 A = π r² 은 3π, 5π, 7π, 9π 라는 홀수 간격으로 점점 더 빨리 자랍니다. 그래프가 위로 휘면서 가팔라지는 모양이 바로 (A) 입니다.

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