경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2007 · #19
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
제곱해서 빼라니 무거워 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 가장 작은 쌍부터 직접 계산해 보면 됩니다. 결과가 깔끔한 규칙으로 정렬되니까 그게 바로 도구 #5(패턴 찾기) — 연속된 두 정수의 제곱의 차는 두 수의 합과 같아서, 항상 홀수이고 100 보다 작아야 합니다. 그러면 도구 #3(가능성 지우기)으로 "홀수이고 100 보다 작다" 조건에 안 맞는 보기를 전부 지웁니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기)까지 갈 필요 없이, 작은 케이스의 패턴만으로 결정됩니다.
작은 연속수 쌍 해 보기
문제를 줄여서(도구 #9) 작은 쌍의 제곱의 차를 직접 구합니다 — 3, 5, 7, 9.
제곱이 부담스럽지만 작은 쌍으로 줄이면 계산이 가벼워지고 구조가 바로 드러납니다.
6.EE.A.1Solve An Easier Related Problem규칙 찾기
패턴 포착: 그 홀수들은 정확히 두 수의 합이라, 제곱의 차는 2n + 1 과 같습니다.
어떤 n 을 넣어도 답은 항상 2n + 1 — 홀수, 그리고 n + (n+1) 그 자체입니다.
연속한 두 정수 n과 n+1에서, 두 제곱의 차 (n+1)² - n²는 두 정수를 더한 값 2n + 1과 같다.
▸ 왜?
큰 정수를 제곱하면 (n+1)² = n² + 2n + 1이 되는데, 이는 작은 제곱 위에 2n + 1이 더 얹힌 것이다.
▸ 왜?
(n+1)과 (n+1)을 곱하면 한 인수의 각 부분을 다른 인수의 각 부분에 펼쳐 n · n + n · 1 + 1 · n + 1 · 1이 되고, 이것을 모으면 n² + 2n + 1이다.
▸ 왜?
n² + 2n + 1에서 작은 제곱 n²을 빼면 원래 있던 n²을 그대로 도로 가져가므로 2n + 1만 남는다.
▸ 왜?
남은 2n + 1은 두 정수를 더한 n + (n+1)과 같은 것인데, 두 개의 n이 2n으로 합쳐지기 때문이다.
▸ 왜?
2n은 곧 n짜리 같은 묶음 두 개, 즉 n에 n을 더한 것이므로 n + (n+1)은 2n + 1로 다시 묶인다.
규칙에서 조건 뽑기
두 필터를 뽑습니다: 제곱의 차 2n + 1은 항상 홀수이고, 100 보다 작습니다.
2n 은 짝수이고 거기에 1을 더하면 항상 홀수. 그리고 2n+1 ＜ 100은 문제의 "합이 100 보다 작다" 조건 그대로입니다.
6.NS.B.4Look For A Pattern조건으로 선택지 거르기
두 필터 적용(도구 #3): 2, 64, 96은 짝수, 131은 99 초과 — 79 만 홀수이고 100 미만으로 살아남습니다.
"홀수인가? 100 보다 작은가?" 단 두 번의 확인으로 네 보기가 한꺼번에 지워집니다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities맞는 쌍 찾아 확인하기
실제로 만들어지는지 확인: 2n + 1 = 79 → n = 39, 40² - 39² = 79. 답은 (C).
실제 짝 (39, 40)을 제시하면 "아직 안 지워진" 정도가 아니라 "진짜 만들어진다" 가 확정됩니다.
6.EE.B.7Eliminate Possibilities연속된 두 정수의 제곱의 차는 그냥 두 수의 합 — 항상 홀수이고, 여기서는 100 보다 작아야 해요. 이 한 가지 사실로 네 보기가 떨어지고 (C) 79가 남습니다.
- 작은 연속수 쌍 해 보기
- 규칙 찾기
- 규칙에서 조건 뽑기
- 조건으로 선택지 거르기
- 맞는 쌍 찾아 확인하기
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