경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2008 · #17
학년 4 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
둘레 조건에서 l + w = 25가 고정됩니다. 그러면 넓이 l × w 는 25를 두 양의 정수로 어떻게 가르느냐에 따라 달라져요. 합이 정해진 두 수의 곱의 최댓값과 최솟값을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 핵심입니다 — 두 수가 가장 가까울 때 곱이 가장 크고, 가장 멀 때 가장 작거든요. 도구 #4(변수 도입하기)로 변의 길이에 l, w 라는 이름을 붙이고, 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 양 끝 쌍을 확인하면 극단값이 맞는지 점검할 수 있습니다.
둘레를 합으로 바꾸기
변을 l, w 라 하고 둘레를 반으로 나누면 2(l+w)=50이 l+w=25 가 되며, 둘 다 양의 정수입니다.
직사각형 둘레 P = 2(l+w)는 3학년 둘레 단원 그대로입니다. 양변을 2로 나누면 단순한 합 조건이 됩니다.
3.MD.D.8Introduce A Variable합이 일정할 때 곱 성질 쓰기
l+w=25가 고정이면 넓이 A=l(25-l)는 두 인수가 벌어질수록 작아지므로, 가장 가까울 때 최대가 됩니다.
직사각형의 넓이는 가로 × 세로(3학년). 25의 정수 분할 중 가장 가까운 쌍은 (12,13), 가장 먼 쌍은 (1,24).
두 변의 길이의 합이 같은 값으로 고정되어 있을 때, 그 곱인 직사각형의 넓이는 두 변이 서로 가장 가까울 때 가장 크고, 가장 멀리 떨어져 있을 때 가장 작다.
▸ 왜?
각 쌍을 전체 합의 한가운데를 기준으로 세워 보자. 두 변의 합이 25이므로 두 변을 12.5 - g와 12.5 + g로 쓸 수 있고, 여기서 g는 한가운데에서 각 변까지의 간격이다. 두 변이 멀리 떨어질수록 간격 g는 커진다.
▸ 왜?
그 두 식을 곱해서 펼치면 한가운데의 제곱에서 간격의 제곱을 뺀 값으로 정리된다: (12.5 - g)(12.5 + g) = 12.5² - g². 즉 넓이는 고정된 한 수 12.5²에서 g²을 덜어낸 것이다.
▸ 왜?
그 고정된 양 12.5²은 겹침 없이 넓이와 g²이라는 조각으로 나뉜다. 전체가 같은 크기로 유지되므로, 간격이 커지면 g² 조각이 더 많이 가져가 넓이가 작아지고, 간격이 가장 작을 때 넓이가 가장 많이 남는다.
양 끝 경우 계산하기
가장 가까운 쌍 (12,13)이 최대 넓이 156, 가장 먼 쌍 (1,24)이 최소 넓이 24 를 줍니다.
쌍을 나열하면 흐름이 보입니다: 두 변의 차가 줄어들수록 곱은 24, 46, 66, … 로 커지다가 (12,13) 에서 156으로 최대가 됩니다.
3.MD.C.7Make A Systematic List두 넓이 빼기
가장 큰 넓이에서 가장 작은 넓이를 빼면 문제가 묻는 차이가 나옵니다.
여러 단계 문장제는 마지막에 뺄셈 한 번으로 마무리됩니다(4학년): 최대 넓이 빼기 최소 넓이.
4.OA.A.3Extreme Principle두 자연수의 합이 정해져 있을 때, 두 수가 서로 가까울수록 곱이 크고, 서로 멀수록 곱이 작아요.
- 둘레를 합으로 바꾸기
- 합이 일정할 때 곱 성질 쓰기
- 양 끝 경우 계산하기
- 두 넓이 빼기
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