경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #18

학년 7 geometry-2d
유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments
perimeterarea-circlesfraction-arithmeticspatial-visualization path-length-comparisonidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
중심이 같은 두 원이 있습니다. 작은 원의 반지름은 10 m, 큰 원의 반지름은 20 m 입니다. 땅돼지(aardvark)가 큰 원의 꼭대기 A 에서 출발해 큰 원의 오른쪽 점 K 까지, 그림의 화살표를 따라 움직입니다. 이 경로의 전체 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$10\pi+20$
(B)
$10\pi+30$
(C)
$10\pi+40$
(D)
$20\pi+20$
(E)
$20\pi+40$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 나누기

경로는 구불구불해 보이지만 깔끔한 여섯 조각, 즉 세 개의 사분원 호와 세 개의 직선 구간으로 이루어져 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)에 따라 각 조각의 길이를 따로 구해 모두 더하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 각 조각의 양 끝점을 좌표로 표시하면, 어느 원 위의 호인지, 어느 반지름을 따라가는 직선인지가 분명해집니다.

1STEP 1

경로를 조각으로 나누기

A 에서 K 까지의 길을 여섯 조각, 즉 사분원 호 3개와 직선 구간 3개로 나눕니다.

경로 = 호₁ + 직선₁ + 호₂ + 직선₂ + 호₃ + 직선₃
2STEP 2

큰 호 길이 구하기

첫 조각은 큰 원(둘레 40π)의 사분원이므로 호의 길이는 10π 입니다.

호₁ = 1/4(2π · 20) = 1/4(40π) = 10π
3STEP 3

작은 호 두 개 구하기

작은 두 호는 각각 작은 원(둘레 20π)의 사분원이므로 하나가 5π 입니다.

호₂ = 호₃ = 1/4(2π · 10) = 5π
4STEP 4

직선 구간 길이 구하기

x 축 구간은 각각 20-10=10, y 축 구간은 작은 원의 지름 20 입니다.

직선₁ = 10, 직선₂ = 20, 직선₃ = 10
5STEP 5

여섯 조각 더하기

π 항과 상수를 따로 묶으면 10π+5π+5π=20π, 10+20+10=40 이므로 전체는 20π+40 → (E).

10π + 10 + 5π + 20 + 5π + 10 = (10π + 5π + 5π) + (10 + 20 + 10) = 20π + 40 → (E)
정답
20π+40
크기 확인. 큰 사분원 한 개(10π ≈ 31.4) + 작은 사분원 두 개(5π + 5π ≈ 31.4) + 직선 세 구간(10 + 20 + 10 = 40) = 62.8 + 40 ≈ 102.8 m. 이는 20π + 40 ≈ 102.8과 일치합니다. 큰 원 한 바퀴가 40π ≈ 125.7 m 이므로, 그보다 짧으면서 직선 구간이 더해진 길이는 자연스럽습니다. 선택지 중 큰 사분원과 작은 사분원 둘을 합쳐 20π 가 되는 보기는 (E) 뿐입니다.
💡핵심 정리

구불구불한 경로도 조각을 내면 쉬워집니다 — 각 호는 그 원 둘레의 사분의 일, 각 직선 구간은 좌표 차이로 바로 구할 수 있어요.

  • 경로를 조각으로 나누기
  • 큰 호 길이 구하기
  • 작은 호 두 개 구하기
  • 직선 구간 길이 구하기
  • 여섯 조각 더하기

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