AMC 8 · 2008 · #23

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglescoordinate-geometryfraction-arithmetic area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 ABCE 에서 변 AE 위의 점 F 는 AF = 2 · FE 를 만족하고, 변 CE 위의 점 D 는 CD = 2 · DE 를 만족합니다. △ BFD 의 넓이와 정사각형 ABCE 의 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{2}{9}$

(C)

$\frac{5}{18}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{7}{20}$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 첫걸음입니다. 정사각형을 좌표평면 위에 올리면 모든 점의 위치가 한 번에 정해져요. 도구 #16(표현 바꾸기)으로 한 변의 길이를 우리가 고를 수 있는데, s=3 으로 잡으면 2{:}1 비율이 정수 길이로 깔끔하게 떨어져 마지막 단계까지 분수가 안 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)은 △ BFD 의 넓이를 직접 구하는 대신, 정사각형을 △ BFD 와 세 개의 모서리 직각삼각형으로 쪼개서 쉬운 세 조각의 넓이를 빼는 방식으로 해결하게 해 줍니다.

1STEP 1

정사각형을 한 변 3 으로 모눈에 올리고 E 를 원점에 두면 E(0,0), C(3,0), B(3,3), A(0,3), [ABCE] = 9.

E=(0,0), C=(3,0), B=(3,3), A=(0,3), [ABCE]=9

2STEP 2

2 대 1 분할로 각 변이 셋으로 나뉘어 E 에서 한 칸 위인 F=(0,1), 한 칸 오른쪽인 D=(1,0).

FE = 1, AF = 2 → F=(0,1); DE = 1, CD = 2 → D=(1,0)

3STEP 3

정사각형을 △ BFD 와 세 모서리 직각삼각형으로 쪼개면 [△ BFD] = [ABCE] - [△ ABF] - [△ BCD] - [△ FED].

[ABCE] = [△ ABF] + [△ BCD] + [△ FED] + [△ BFD]

4STEP 4

각 모서리 삼각형은 두 변 곱의 절반: [△ ABF] = 3, [△ BCD] = 3, [△ FED] = $\frac{1}{2}$ .

[△ ABF] =

\frac{1}{2}

(3)(2) = 3, [△ BCD] =

\frac{1}{2}

(3)(2) = 3, [△ FED] =

\frac{1}{2}

(1)(1) =

\frac{1}{2}

5STEP 5

빼면 [△ BFD] = 9 - 3 - 3 - $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ , 비는 $\frac{\frac{5}{2}}{9}$ = $\frac{5}{18}$ → (C).

[△ BFD] = 9 - 3 - 3 -

\frac{1}{2}

\frac{5}{2}

;

\frac{[△ BFD]}{[ABCE]}

\frac{\frac{5}{2}}{9}

\frac{5}{18}

→ (C)

정답

\frac{5}{18}

크기 감으로 확인해 봅시다. 세 모서리 삼각형 넓이의 합은 3 + 3 +

\frac{1}{2}

\frac{13}{2}

로 정사각형 넓이 9 의 절반보다 조금 크고, 그러면 △ BFD 는

\frac{5}{2}

로 정사각형의 반보다 살짝 작습니다. 비율

\frac{5}{18}

≈ 0.278 이 딱 "4 분의 1 보다 약간 크다" 이고요. 선택지 중

\frac{1}{6}

≈ 0.17 은 너무 작고

\frac{1}{3}

≈ 0.33 은 너무 크니까, 그 사이에 들어가는 답은

\frac{5}{18}

뿐입니다.

💡핵심 정리

정사각형을 모눈종이에 한 변 3 으로 올리고, 모서리 직각삼각형 셋을 잘라내면 남는 것이 △ BFD — 까다로워 보이는 비율 문제도 6학년 "넓이 쪼개기" 한 줄로 풀립니다.

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