경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #6

학년 6 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
ratio-proportionarea-rectanglessystematic-enumerationspatial-visualization identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
큰 기울어진 정사각형(마름모)이 변에 평행한 직선들에 의해 똑같은 크기의 작은 기울어진 정사각형 여러 개로 나뉘어 있습니다. 그중 일부는 회색으로 칠해져 있고 나머지는 흰색입니다. 회색 영역의 넓이와 흰색 영역의 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3:10
(B)
3:8
(C)
3:7
(D)
3:5
(E)
1:1

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 구조 이용하기 / 다시 보기

핵심은 도구 #16(구조 이용하기)입니다. 회색 영역 세 덩어리를 따로따로 보지 말고, 그림 전체를 4 × 4 작은 타일 격자로 다시 보세요. 그렇게 보면 모든 영역이 "몇 개의 타일"이라는 단순한 형태가 됩니다. 그 다음은 도구 #13(경우의 수 세기) — 회색 타일을 세고, 전체에서 빼서 흰색 타일을 구하고, 비로 정리하면 끝입니다.

1STEP 1

정사각 격자로 보기

큰 마름모 전체를 45° 기울어진 4 × 4 격자, 즉 똑같은 단위 타일 16 개로 다시 봅니다. 타일 한 개 넓이를 1로 잡습니다.

전체 타일 수 = 4 × 4 = 16
2STEP 2

회색 타일 세기

회색 타일을 셉니다: 가운데 2 × 2 블록 4 개, 맨 왼쪽 1 개, 맨 오른쪽 1 개 = 6 개.

회색 타일 수 = 4 + 1 + 1 = 6
3STEP 3

빼서 흰 타일 구하기

모든 타일은 회색 아니면 흰색이므로 전체 16 에서 빼면 흰색은 10 개입니다.

흰색 타일 수 = 16 - 6 = 10
4STEP 4

비를 쓰고 약분하기

넓이 비는 타일 개수 비와 같으니 회색 : 흰색 = 6 : 10, 두 수를 2로 나누면 3 : 5.

회색 : 흰색 = 6 : 10 = 3 : 5 → (D)
정답
3:5
확인: 회색 + 흰색 = 6 + 10 = 16 타일로 큰 마름모 전체 타일 수 4 × 4 = 16과 정확히 일치합니다. 또 비 3:5는 회색이 흰색보다 작다는 뜻인데, 그림을 보아도 흰색 면적이 더 크니 자연스럽습니다.
💡핵심 정리

도형이 똑같은 타일로 덮여 있으면 넓이 문제는 곧 타일 세기 문제 — 회색 타일을 세고, 남은 것을 세고, 비로 정리하면 끝!

  • 정사각 격자로 보기
  • 회색 타일 세기
  • 빼서 흰 타일 구하기
  • 비를 쓰고 약분하기

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