AMC 8 · 2009 · #11

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

gcdprime-factorizationfactorsdivisibility-rules identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

아마코 중학교 서점에서 연필 한 자루는 정수 센트에 팔립니다. 7학년 학생 몇 명이 각자 한 자루씩 사서 총 1.43 을 냈고, 30 명의 6학년 학생 중 몇 명도 각자 한 자루씩 사서 총 1.95 를 냈습니다. 연필을 산 6학년 학생은 7학년 학생보다 몇 명 더 많을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

구하는 것은 인원 차이지만, 연필 값을 먼저 알아야 인원을 셀 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 연필 값 c 정하기 → (2) $\frac{195 - 143}{c}$ 계산 두 단계로 깔끔히 나눕니다. (1)은 수론 문제 — c 가 143 과 195 를 모두 나누어떨어뜨려야 하므로 각각의 약수를 도구 #2(체계적인 목록 만들기) 로 정리해 공약수만 남깁니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 c = 1 처럼 "6학년이 195 명" 이 되는 무리한 후보를 떨어뜨려 연필 값을 하나로 확정해 줍니다.

1STEP 1

센트로 바꾸면 총액은 143 과 195 이므로, 연필 값 c 는 143 과 195 를 모두 나누어떨어뜨려야 합니다.

c ∣ 143 이고 c ∣ 195

2STEP 2

각 합계를 소인수분해해 약수를 정리하면 143 = 11 × 13, 195 = 3 × 5 × 13.

143 = 11 × 13, 195 = 3 × 5 × 13

3STEP 3

두 소인수분해가 공유하는 소수는 13 뿐이므로, 143 과 195 의 공약수는 1 과 13 뿐입니다.

gcd(143, 195) = 13 → 공약수 = {1, 13}

4STEP 4

연필이 1 센트면 6학년이 $\frac{195}{1}$ = 195 명 필요하지만 30 명뿐이라 c = 1 은 탈락, 남는 값은 c = 13.

c = 1 →

\frac{195}{1}

= 195 ＞ 30 명 → 탈락. 따라서 c = 13

5STEP 5

6학년이 낸 돈은 195 - 143 = 52 센트 더 많고, 연필 한 자루가 13 센트이니 인원 차이는 $\frac{52}{13}$ .

\frac{195 - 143}{13}

\frac{52}{13}

= 4 → (D)

정답

각 학년 인원을 직접 세서 교차 확인해 봅니다. 연필을 산 6학년 =

\frac{195}{13}

= 15 명, 7학년 =

\frac{143}{13}

= 11 명. 차이 = 15 - 11 = 4 로 (D) 와 일치. 6학년 15 명은 학급 30 명 한도 안에 들어와 있으므로 c = 13 이라는 연필 값도 일관됩니다.

💡핵심 정리

연필 값이 143 과 195 의 최대공약수라는 사실만 알아채면, 이 AMC 8 문제는 6학년 GCF 한 번에 4학년 나눗셈을 얹은 수준으로 풀려요.

비슷한 유형 더 풀어보기