AMC 8 · 2009 · #13

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

probability-basicpermutations-basicdivisibility-rules systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

숫자 1, 3, 5 를 한 번씩만 써서 세 자리 정수를 만듭니다. 이 배열을 무작위로 고를 때, 만들어진 수가 5 로 나누어떨어질 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{5}{6}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 목록 만들기

세 숫자의 배열은 3! = 6 가지뿐이라서 도구 #2(체계적으로 목록 만들기) 로 전부 나열하고 조건에 맞는 것만 직접 세면 됩니다 — 공식이 따로 필요 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 문제를 더 간단히 바라보게 해 줍니다 — 수 전체의 나눗셈을 일일이 확인하는 대신, 5 의 배수는 "일의 자리" 만 보면 된다는 사실에 초점을 옮깁니다. 일의 자리에 집중하면 "6 개 배열 중 일의 자리가 5 인 것은 몇 개?" 로 문제가 한 줄로 줄어듭니다.

1STEP 1

1, 3, 5 의 모든 배열을 나열하면 세 자리 수는 모두 6 개입니다.

{135, 153, 315, 351, 513, 531} — 총 6 개

2STEP 2

초점을 일의 자리로 옮깁니다. 5 의 배수는 0 또는 5 로 끝나는데, 0 이 없으니 결국 일의 자리가 5 인 경우입니다.

5 의 배수 ⇔ 일의 자리 ∈ {0, 5} → 일의 자리 = 5

3STEP 3

5 로 끝나는 수를 목록에서 찾으면 135 와 315 뿐이라, 조건을 만족하는 배열은 2 개입니다.

조건 만족 = {135, 315} → 개수 = 2

4STEP 4

조건 만족을 전체로 나누고 $\frac{2}{6}$ 을 약분하면 $\frac{1}{3}$ , 곧 답 (B) 입니다.

P =

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

→ (B)

정답

\frac{1}{3}

대칭성으로 빠르게 확인. 1, 3, 5 세 숫자는 일의 자리에 올 확률이 똑같습니다. 따라서 특정 숫자(여기서는 5) 가 일의 자리에 올 확률은 정확히

\frac{1}{3}

— 목록으로 센

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

과 일치하고 답 (B) 와도 맞습니다. 다른 선택지는 쉽게 배제됩니다: (A)

\frac{1}{6}

은 조건 만족 배열이 1 개라는 뜻이고, (C)–(E) 는 3 개 이상이어야 하는데 실제로는 2 개뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 확률만 알면 됩니다 — 모든 배열을 적고, 4학년 때 배운 5 의 배수 판정법을 쓰고, 조건 만족 / 전체로 나누면 끝!

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