경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2009 · #17
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
한 문제처럼 보이지만 사실은 "x 구하기" 와 "y 구하기" 라는 독립된 두 문제를 합으로 묶어 놓은 구조입니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스러운 출발점 — 각각 푼 다음 마지막에 더하면 됩니다. 두 소문제는 모두 같은 준비물(360의 소인수분해와 지수)을 씁니다. 도구 #12(규칙 찾기)는 두 소문제를 관통하는 패턴을 이름 붙여 줍니다: 어떤 수가 완전제곱수(또는 세제곱수)가 되려면 각 소인수의 지수를 다음 짝수(또는 3의 배수)까지 끌어올리면 된다. 이 한 줄짜리 규칙이 360의 소인수분해만 있으면 x 와 y 를 기계적으로 만들어 줍니다.
360을 소인수분해하기
360을 소인수분해하면 2³ · 3² · 5¹ — 지수는 3, 2, 1입니다.
소인수의 지수를 읽어 내는 것은 6학년 수론 기본 동작이며, 제곱·세제곱 질문을 "각 지수별 조건" 으로 바꿔 줍니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems가장 작은 x 구하기
완전제곱수가 되려면 각 지수를 다음 짝수까지 올리므로, 모자란 인수는 x = 10 입니다.
"각 지수를 다음 짝수까지 올린다" 가 완전제곱수의 패턴(도구 #12)이며, 지수와 제곱을 연결하는 8학년 사고와 정확히 맞물립니다.
360x를 완전제곱수로 만드는 가장 작은 양의 정수 x는 360 = 2³ · 3² · 5¹의 각 소수 지수를 바로 다음 짝수까지 올려 주는 수이며, 그래서 x = 2¹ · 5¹이다.
▸ 왜?
어떤 자연수가 완전제곱수가 되는 것은 소인수분해에서 모든 소수가 짝수 번 나타날 때뿐이므로, 할 일은 지수 3, 2, 1을 짝수로 만드는 것이다.
▸ 왜?
완전제곱수는 어떤 자연수를 자기 자신과 곱한 것인데, 그 수의 소인수들을 한 번 더 늘어놓으면 각 소수가 나타나는 횟수가 두 배가 되므로 제곱수의 지수는 항상 짝수이다. 거꾸로 보면 짝수 지수는 반으로 나눠 근을 되살릴 수 있다.
▸ 왜?
지수는 어떤 소수가 인수로 몇 번 쓰였는지를 적어 둔 것일 뿐이므로, 그 소수를 다시 한 번 늘어놓으면 같은 횟수가 한 번 더 더해져 원래의 두 배, 곧 짝수가 된다.
▸ 왜?
360에 x를 곱하면 x의 소인수들이 360의 소인수들 옆에 놓이므로, 360x에서 각 소수의 지수는 360의 지수에 x가 대는 지수를 더한 것이 되고, 가장 작은 x는 각 소수마다 다음 짝수에 이를 만큼만 더한다.
▸ 왜?
지수는 어떤 소수가 인수로 몇 번 쓰였는지를 세는 것이므로, 360의 그 소수 복사본들을 x의 복사본들과 함께 모으면 새 횟수는 둘의 합이 된다.
▸ 왜?
소수 3의 지수는 이미 짝수이고, 그 소수를 하나도 더 곱하지 않으면 지수가 그대로 남으므로, x는 그 소수를 아예 빼고 최대한 작게 유지할 수 있다.
x가 10인지 확인하기
확인: 360 · 10 = 3600 = 60², 완전제곱수입니다.
제곱근을 직접 확인하는 것은 지수 계산이 맞았는지 보는 빠른 점검입니다.
8.EE.A.2Identify Subproblems가장 작은 y 구하기
완전세제곱수가 되려면 각 지수를 다음 3의 배수까지 올리므로, 모자란 인수는 y = 75 입니다.
앞 단계와 같은 규칙에서 "다음 짝수" 만 "3의 배수" 로 바꾼 것 — 규칙이 풀이보다 한 줄 더 깁니다.
8.EE.A.2Draw A Venn Diagramy가 75인지 확인하기
확인: 360 · 75 = 2³ · 3³ · 5³ = 30³ = 27000, 완전세제곱수입니다.
지수가 모두 3으로 맞아 (2 · 3 · 5)³로 묶이는 모습이 세제곱 조건이 채워졌다는 시각적 확인입니다.
8.EE.A.2Identify Subproblemsx와 y 더하기
두 소문제의 답을 더합니다: x + y = 10 + 75 = 85 → (B).
"이제 합한다" 는 도구 #7 분할의 마지막 단계 — 두 소문제만 풀리면 나머지는 한 자리 덧셈입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems360을 소인수로 쪼갠 뒤, 제곱수에서는 각 지수를 다음 짝수, 세제곱수에서는 다음 3의 배수까지 올리는 한 가지 규칙으로 x 와 y 가 한 번에 나옵니다.
- 360을 소인수분해하기
- 가장 작은 x 구하기
- x가 10인지 확인하기
- 가장 작은 y 구하기
- y가 75인지 확인하기
- x와 y 더하기
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