경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2009 · #22
학년 5 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
특정 숫자 하나를 피하는 길이 3의 수 문자열 개수를 세는 전형적인 곱셈 원리 상황으로, 도구 #13(경우의 수 세기)이 바로 들어맞습니다. 핵심 트릭은 모든 수를 세 자리로 패딩하는 것입니다 — 7은 "007", 42는 "042" 처럼요. 그러면 0부터 999 까지의 모든 정수가 세 칸짜리 문자열이 되고, 각 칸은 독립적으로 {0,1,2,…,9} 중에서 고르며 1만 금지하면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 경계 끝부분을 처리하는 데 씁니다 — 패딩한 개수에는 000 (우리 범위 밖)이 들어가 있으므로 한 번 빼 주기만 하면 됩니다.
세 자리로 맞춰 쓰기
0–999를 세 자리 문자열로 패딩하면, 세 칸 각각이 독립적으로 9 개 숫자(1을 뺀)를 가집니다.
"9 가지 선택지를 각 칸마다 반복" 은 3학년 "똑같은 묶음" 곱셈 개념 그대로입니다.
3.OA.A.1Convert To Algebra자리마다 경우의 수 곱하기
독립적인 세 개의 9 가지 선택을 곱하면 729 개의 문자열이 1을 피합니다.
독립적인 9 가지 선택지를 세 번 곱하는 것은 5학년 "여러 자리 수의 곱셈" 표준입니다.
1 을 하나도 쓰지 않는 세 칸짜리 숫자 문자열의 개수는 9 × 9 × 9 이다.
▸ 왜?
세 칸 각각은 0–9 의 열 개 숫자 중 금지된 1 하나만 빼고 아무거나 담을 수 있다; 열 개의 숫자는 빈틈도 겹침도 없이 금지된 한 숫자와 나머지로 나뉘므로, 각 칸에 정확히 10 - 1 = 9 개가 허용된다.
▸ 왜?
세 칸은 서로 독립적으로 채워진다 — 한 칸에서 고른 숫자가 다른 칸의 선택지를 줄이지 않는다 — 그래서 각 칸을 채우는 9 가지가 곱해진다: 첫째 칸의 9 가지 각각이 둘째 칸의 9 가지, 셋째 칸의 9 가지와 짝지어져 9 × 9 × 9 가 된다.
양 끝 값 조정하기
범위 밖 0을 뜻하는 000 한 개만 빼면 됩니다 — 1은 스스로 제외되고 1000은 네 자리라, 남는 것은 728 입니다.
먼저 큰 덩어리를 센 다음 경계의 잘못된 한 케이스만 빼는 것은 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)의 핵심 동작이자, 4학년 여러 단계 문장제 추론입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems선택지와 맞춰 보기
구한 값 728은 선택지 (D) 와 일치합니다.
일치하는 답을 골라 문제를 마무리합니다.
4.OA.A.3Convert To Algebra모든 수를 세 자리로 채워 보면, 각 칸은 따로따로 9 가지 중 하나를 고르는 일이 됩니다 — 5학년 때 배운 곱셈 그대로에 작은 보정 하나만 더하면 됩니다.
- 세 자리로 맞춰 쓰기
- 자리마다 경우의 수 곱하기
- 양 끝 값 조정하기
- 선택지와 맞춰 보기
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