경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2009 · #25

학년 6 geometry-3d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Rectilinear Perimeter Closure

surface-areafraction-arithmeticarea-rectanglesset-partition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: surface-areafraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 1 피트인 정육면체를 윗면과 평행한 세 번의 절단으로 네 개의 납작한 슬랩 A, B, C, D 로 자릅니다. 위에서부터 높이는 각각

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{17}

피트이고, D 는 남는 두께입니다. 네 슬랩을 D, A, B, C 순서로 바닥에 옆으로 나란히 붙여 놓을 때, 이 새 입체의 겉넓이(제곱피트)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$:\frac{419}{51}$

(D)

$:\frac{158}{17}$

(E)

:11

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

새 입체는 높이만 다른 네 개의 납작한 직육면체가 한 줄로 늘어선 모양입니다. 면을 하나씩 세지 말고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 겉면을 다섯 묶음 — 위, 아래, 앞, 뒤, 옆(계단) — 으로 나누어 각각 구한 뒤 더합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이 묶음을 한눈에 보여 줍니다. 결정적으로 도구 #11(대칭·불변량 찾기)이 큰 일을 합니다 — 앞면과 뒷면은 폭의 합이 4 피트이고 네 슬랩의 높이 합이 1 피트로 고정되므로, 까다로운 h_D = 11/102 값 없이도 각각 1 ft² 임을 바로 알 수 있습니다.

1STEP 1

네 번째 조각 높이 구하기

네 높이의 합이 1 피트이므로 h_D = 1 - ( $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{17}$ ) = $\frac{11}{102}$ 피트, 옆면 계산에서 사용.

h_D = 1 - (1/2 + 1/3 + 1/17) = 1 - (51 + 34 + 6)/102 = 11/102 피트

2STEP 2

겉넓이를 다섯 부분으로 나누기

겉면을 다섯 묶음 — 위, 아래, 앞, 뒤, 옆(계단) — 으로 나눠 각각 구한 뒤 더합니다.

겉넓이 = 위 + 아래 + 앞 + 뒤 + 옆

3STEP 3

윗면과 아랫면 넓이 구하기

각 슬랩은 1×1 윗면·밑면을 그대로 가지므로, 네 슬랩의 윗면은 4 ft², 밑면도 4 ft².

위 = 4 × (1 × 1) = 4 ft², 아래 = 4 ft²

4STEP 4

앞면과 뒷면 넓이 구하기

정면에서 보면 폭 1 피트 직사각형 넷의 높이 합이 1 피트라, 앞면은 1 ft², 뒷면도 같습니다.

앞 = 1 × (h_A + h_B + h_C + h_D) = 1 × 1 = 1 ft², 뒤 = 1 ft²

5STEP 5

옆면 계단 넓이 구하기

배치 D, A, B, C 에서 드러난 옆면은 양 끝(h_D, h_C)과 이웃 사이 계단 셋, 모두 깊이 1 피트.

옆 = 1 · (h_D + |h_A - h_D| + |h_A - h_B| + |h_B - h_C| + h_C)

6STEP 6

옆면 분수 통분해 더하기

공통분모 102 에서 옆면 다섯 조각은 11, 40, 17, 28, 6이고, 합이 $\frac{102}{102}$ = 1 ft².

옆 = 11/102 + 40/102 + 17/102 + 28/102 + 6/102 = 102/102 = 1 ft²

7STEP 7

다섯 부분 합치기

다섯 묶음을 더하면 4 + 4 + 1 + 1 + 1 = 11 ft².

겉넓이 = 4 + 4 + 1 + 1 + 1 = 11 ft² → (E)

정답

:11

원래 정육면체의 겉넓이는 6 ft²입니다. 자르고 재배치하는 과정에서 재료가 사라지지는 않고 "숨어 있던 면" 이 드러나기만 하므로 새 겉넓이는 적어도 6 이상이어야 합니다 — 선택지 (A)는 의심스러워집니다. 재배치를 하면 가로 절단면 3 개가 "위면 3 개 + 아래면 3 개 = 6 ft²" 만큼 새로 드러나고, 슬랩 끼리 맞닿은 옆면 3 곳의 넓이 약 1 ft²가 사라지는 대신 "계단" 부분의 넓이가 비슷하게 더해져, 결국 +5의 변화가 생겨 6 + 5 = 11 ft²이 됩니다. (E)와 일치하고 나머지 선택지를 모두 배제할 수 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "전개도와 겉넓이" 추론만 알면 풀 수 있어요!

네 번째 조각 높이 구하기
겉넓이를 다섯 부분으로 나누기
윗면과 아랫면 넓이 구하기
앞면과 뒷면 넓이 구하기
옆면 계단 넓이 구하기
옆면 분수 통분해 더하기
다섯 부분 합치기

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