AMC 8 · 2009 · #4

학년 3 geometry-2d

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Fixed Piece Set — Feasibility by Elimination

area-rectanglesspatial-visualizationsystematic-enumeration physical-representationcasework ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

단위 정사각형 1, 2, 3, 4, 5 개가 세로로 붙은 다섯 개의 띠(strip) 조각이 주어집니다. 선택지 (A)–(E) 의 다섯 도형 중 네 개는 이 다섯 조각으로 겹치거나 남는 부분 없이 정확히 덮을 수 있고, 한 개는 덮을 수 없습니다. 만들 수 없는 도형 하나를 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(figure A)

(B)

(figure B)

(C)

(figure C)

(D)

(figure D)

(E)

(figure E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

직접 띠를 맞춰 보는 타일 퍼즐이라 도구 #10(직접 만져보기) 이 가장 자연스러운 출발점입니다 — 높이 1, 2, 3, 4, 5 인 종이 띠 다섯 개를 잘라 도형 위에 올려 보면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 그 과정을 단축해 줍니다: 각 선택지 도형의 열별 높이만 적어 두고, 다섯 띠의 높이로 분할 가능한지 따져 보면 충분합니다. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 마무리합니다 — "만들 수 없는 것 하나" 를 묻는 객관식이므로, 만들 수 있는 네 개를 차례로 지워 남은 하나를 답으로 잡습니다. 핵심 단서는: 높이 5 띠는 5 칸 이상의 세로 열이 필요하며, 가장 높은 열이 5 미만인 도형은 자동으로 불가능합니다.

1STEP 1

띠 높이가 1, 2, 3, 4, 5 라 합은 1+2+3+4+5=15 칸, 각 도형도 15 칸이라 넓이만으로는 못 가려요.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

2STEP 2

띠는 한 열씩 채워요. (A) 5,3,2,5 (B) 2,3,4,3,3 (C) 5,4,3,2,1 (D) 5,5,5 (E) 1,4,5,4,1.

(A) 5,3,2,5 | (B) 2,3,4,3,3 | (C) 5,4,3,2,1 | (D) 5,5,5 | (E) 1,4,5,4,1

3STEP 3

세로 5칸 띠는 높이 5 인 열이 필요해요. (A)(C)(D)(E)엔 있지만 (B)의 최고 열은 4 뿐이라 자리가 없어요.

max(B) = 4 ＜ 5

4STEP 4

나머지 넷은 덮여요: (C) 5+4+3+2+1, (D) 5+(4+1)+(3+2), (A) 5+(4+1)+3+2, (E) 1+4+5+4+1.

(A) 5+(4+1)+3+2, (C) 5+4+3+2+1, (D) 5+(4+1)+(3+2), (E) 1+4+5+4+1

5STEP 5

지우고 남은 하나는 3단계처럼 높이 5 인 열이 없어요 — 그래서 (B) 를 만들 수 없어요.

정답: (B)

정답

(figure B)

각 띠는 폭 1 의 세로 띠라 5 칸 띠는 단위 정사각형 5 개가 세로로 이어진 열이 있어야만 들어갑니다. 다섯 도형 중 모든 열의 높이가 5 미만인 것은 오직 (B) 뿐입니다(높이 2, 3, 4, 3, 3). 나머지 네 도형에 대해서는 4단계에서 실제 덮는 방법을 보였으니, (B) 가 답이라는 결론이 일관됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 결국 3학년 "도형을 타일로 덮기" 퍼즐이에요 — 가장 긴 띠가 들어갈 자리가 있는지 보면 끝!

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