경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2009 · #9

학년 4 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

perimeterspatial-visualizationpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

정삼각형(3각형)에서 출발해서, 한 변에 정사각형(4각형)을 붙입니다. 그 정사각형의 (삼각형 쪽이 아닌) 한 변에 정오각형을 붙이고, 같은 방식으로 정육각형, 정칠각형, 정팔각형까지 차례로 한 변씩 이어 붙입니다. 이렇게 만들어진 큰 도형의 둘레는 모두 몇 개의 변으로 이루어져 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 본질적으로 시각적입니다 — 도형들이 한 변씩 맞붙어 사슬을 이루고, 맞붙은 변은 둘레에서 사라집니다. 도구 #1(그림 그리기)로 사슬을 간단히 스케치해 보면, 양 끝의 두 다각형(삼각형, 팔각형)은 각각 1 변을 잃고, 가운데의 네 다각형은 각각 2 변을 잃는다는 게 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "다각형마다 둘레에 기여하는 변이 몇 개인가?" 라는 여섯 개의 작은 문제로 나눈 뒤 마지막에 더하면 됩니다. 대수 같은 건 필요 없습니다.

1STEP 1

도형 사슬 그리기

삼각형·사각형·오각형·육각형·칠각형·팔각형 여섯 도형이 한 줄로 이어지고, 이웃끼리 한 변씩 맞닿습니다.

△ - □ - pentagon - hexagon - (7각형) - (8각형)

2STEP 2

도형마다 나누어 세기

한 도형씩: 둘레 변 = 전체 변 - 맞붙은 변 (양 끝 -1, 가운데 -2).

기여 변 수 = (전체 변 수) - (공유한 변 수)

3STEP 3

삼각형 바깥 변 세기

삼각형(끝): 3변 중 1변이 사각형과 맞붙어, 둘레에 2변을 더합니다.

3 - 1 = 2

4STEP 4

사각형 바깥 변 세기

사각형(가운데): 4변 중 2변이 맞붙어(삼각형·오각형), 둘레에 2변.

4 - 2 = 2

5STEP 5

가운데 도형들 변 세기

오각형 5-2=3, 육각형 6-2=4, 칠각형 7-2=5 — 가운데 정n각형은 n-2변.

5 - 2 = 3, 6 - 2 = 4, 7 - 2 = 5

6STEP 6

팔각형 바깥 변 세기

팔각형(끝): 8변 중 1변이 칠각형과 맞붙어, 둘레에 7변.

8 - 1 = 7

7STEP 7

여섯 도형의 변 더하기

여섯 기여를 더하면 2+2+3+4+5+7 = 23변 — 정답 (B).

2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23 → (B)

정답

교차 검산: 여섯 다각형의 변의 합은 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33. 맞붙은 자리(이음매)는 삼각형-사각형, 사각형-오각형, 오각형-육각형, 육각형-칠각형, 칠각형-팔각형 — 모두 5개. 이음매 하나당 양쪽 도형의 변이 1개씩 사라지므로 총 5 × 2 = 10 변이 둘레에서 빠집니다. 그래서 33 - 10 = 23. 답 (B)와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 사고 — 도형 이름 알기, 맞붙은 변 빼기, 그리고 다 더하기 — 만으로 풀 수 있어요!

도형 사슬 그리기
도형마다 나누어 세기
삼각형 바깥 변 세기
사각형 바깥 변 세기
가운데 도형들 변 세기
팔각형 바깥 변 세기
여섯 도형의 변 더하기

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