경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #3

학년 4 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation
fraction-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
세 분수 1511\frac{15}{11}, 1915\frac{19}{15}, 1713\frac{17}{13} 이 주어집니다. 모두 1 보다 살짝 큰 가분수인데, 이 셋을 작은 수부터 큰 수의 순서로 바르게 나열한 보기를 (A)-(E) 중에서 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{15}{11} < \frac{17}{13} < \frac{19}{15}$
(B)
$\frac{15}{11} < \frac{19}{15} < \frac{17}{13}$
(C)
$\frac{17}{13} < \frac{19}{15} < \frac{15}{11}$
(D)
$\frac{19}{15} < \frac{15}{11} < \frac{17}{13}$
(E)
$\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 다르게 정리하기

가장 먼저 도구 #5(패턴 찾기)가 발동합니다 — 세 분수 모두 분자가 분모보다 4 만큼 큽니다. 이 패턴을 못 보면 그냥 어려워 보이는 세 분수가 되어 엇갈려 곱하기를 반복해야 합니다. 패턴을 잡으면 도구 #15(다르게 정리하기)로 각 분수를 1 + 4/d 꼴로 다시 써서, 세 번의 "분자·분모 다 다른" 비교를 한 번의 "분자가 같은" 비교로 단순화할 수 있습니다. 작은 분수 부분의 순서가 정해지면 도구 #3(가능성 지우기)으로 보기 (A)-(E) 중 일치하는 것 하나만 남기면 됩니다.

1STEP 1

공통 규칙 찾기

패턴 포착: 세 분수 모두 분자가 분모보다 정확히 4 만큼 큽니다.

15/11, 19/15, 17/13 = (11+4)/11, (15+4)/15, (13+4)/13
2STEP 2

각 분수를 두 부분으로 나누기

각 d+4d\frac{d+4}{d} 를 1 + 4d\frac{4}{d} 로 쪼개면 세 분수가 모두 1 더하기 작은 조각 4d\frac{4}{d} 꼴이 됩니다.

15/11 = 1 + 4/11, 19/15 = 1 + 4/15, 17/13 = 1 + 4/13
3STEP 3

분수 부분 비교하기

분자가 4로 같으니 분모가 클수록 조각이 작아 415\frac{4}{15} ＜ 413\frac{4}{13} ＜ 411\frac{4}{11} 입니다.

4/15 ＜ 4/13 ＜ 4/11
4STEP 4

1을 다시 더하기

각 항에 1을 다시 더해도 순서는 그대로라 1915\frac{19}{15} ＜ 1713\frac{17}{13} ＜ 1511\frac{15}{11} 입니다.

1 + 4/15 ＜ 1 + 4/13 ＜ 1 + 4/11 ⟺ 19/15 ＜ 17/13 ＜ 15/11
5STEP 5

선택지와 맞춰 보기

이 순서는 보기 (E) 와 정확히 일치하고 나머지 보기는 자리가 어긋나 탈락합니다.

19/15 ＜ 17/13 ＜ 15/11 → (E)
정답
19/15 ＜ 17/13 ＜ 15/11
소수로 대략 확인하면 1511\frac{15}{11} ≈ 1.364, 1713\frac{17}{13} ≈ 1.308, 1915\frac{19}{15} ≈ 1.267이고, 정렬하면 1.267 ＜ 1.308 ＜ 1.364 즉 1915\frac{19}{15} ＜ 1713\frac{17}{13} ＜ 1511\frac{15}{11} 로 (E)와 정확히 일치합니다. 또 분모 순서 11 ＜ 13 ＜ 15와 값 순서(분모가 작을수록 값이 큼)가 "분자가 같으면 분모가 작은 것이 크다" 규칙과 들어맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "분자가 같으면 분모가 작은 분수가 더 크다" 라는 분수 비교 규칙만 알면 풀 수 있어요!

  • 공통 규칙 찾기
  • 각 분수를 두 부분으로 나누기
  • 분수 부분 비교하기
  • 1을 다시 더하기
  • 선택지와 맞춰 보기

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