경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2010 · #11
학년 6 rate-ratio답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
비 3 : 4 자체가 이미 "키가 3 인 나무" 와 "키가 4 인 나무" 라는 작은 버전 문제를 보여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 방식대로 작은 경우의 차이(1)를 먼저 구하고, 실제 차이 16 피트와 같아지도록 양쪽을 똑같이 확대하면 — 대수 없이 — 답이 바로 나옵니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 보조 장치입니다. 큰 나무 키의 1/4이 곧 차이 16이 되어야 하므로, 그 조건으로 선택지를 직접 점검해 답을 못박을 수 있습니다.
작은 경우로 해 보기
축소해서 두 나무를 3, 4 피트로 놓으면 비 3 : 4를 만족하고 차이는 4 - 3 = 1 피트입니다.
비의 두 수 자체를 키 값으로 잠깐 빌려 쓰는 것이 가장 깔끔한 "더 쉬운 문제" 이고, 비 개념을 다루는 6학년의 기본 사고입니다.
6.RP.A.1Solve An Easier Related Problem배율 구하기
실제 차이는 16 피트, 작은 차이는 1 피트이므로 확대 비율은 16입니다.
"두 수에 같은 수를 곱한다" 는 4학년 곱셈적 비교(multiplicative comparison) 그대로입니다.
4.OA.A.2Solve An Easier Related Problem두 나무 높이에 배율 적용하기
둘 다 확대하면 작은 나무는 3 × 16 = 48 피트, 큰 나무는 4 × 16 = 64 피트, 비는 여전히 3 : 4이고 차이는 16 피트.
비에 같은 수를 곱해도 비는 변하지 않는다 — 이게 6학년 비·비례 추론의 핵심입니다.
작은 3,4 쌍의 두 수에 같은 배수 16을 곱하면, 여전히 3:4 비를 유지하면서 두 수의 차이가 1에서 정확히 16피트로 커진 더 큰 쌍이 나온다.
▸ 왜?
두 높이에 같은 배수 16을 곱해도 3:4 비교는 그대로인데, 비는 두 양을 나눗셈으로 비교하는 것이고 공통 배수 16이 양쪽에 나타나 서로 약분되기 때문이다.
▸ 왜?
공통 배수 16/16은 1인데, 16으로 나누는 것은 16을 곱한 것을 되돌리기 때문이다.
▸ 왜?
그 공통 배수가 1임을 알고 나면, 3-대-4 비교에 1을 곱한 것은 다시 그 3-대-4 비교일 뿐 — 아무것도 바뀌지 않는다.
▸ 왜?
두 높이의 차이 또한 16배가 되어 작은 차이 1이 16이 되는데, 배가 된 두 수가 모두 같은 배수 16을 지녀서 그 공통 배수가 차이에서 밖으로 빠져나오기 때문이다: 16 · 4 - 16 · 3 = 16·(4-3) = 16 · 1.
선택지와 맞춰 보기
선택지 확인: 큰 나무 키의 이 차이 16과 같아야 하므로 조건에 맞는 값은 64, 즉 (B) 뿐입니다.
"큰 나무의 1/4이 차이 16과 같다" 는 한 조건으로 선택지를 거르는 것이 도구 #3(가능성 지우기)의 전형적인 동작입니다.
6.RP.A.3Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 6학년 비·비례 추론만 알면 풀려요 — 작은 3{:}4 짝을 차이가 16이 될 때까지 똑같이 늘려 주면 끝!
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- 배율 구하기
- 두 나무 높이에 배율 적용하기
- 선택지와 맞춰 보기
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