AMC 8 · 2011 · #22

학년 6 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

modular-arithmeticpattern-recognitionexponents pattern-recognitionmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: modular-arithmeticexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

거대한 수 7²⁰¹¹ 의 십의 자리 숫자(끝에서 두 번째 자리)를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

지수 2011 은 너무 커서 직접 계산이 불가능합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 작은 지수부터 — 7¹, 7², 7³, … — 시작하고, 매 단계 마지막 두 자리만 남깁니다 (백의 자리 위로 올라가는 부분은 십의 자리에 영향을 주지 못합니다). 그 "끝 두 자리" 값들이 반복되기 시작하면 도구 #5(패턴 찾기) 가 이어받습니다 — 짧은 주기를 찾아내면 지수 2011 을 훨씬 작은 동치 지수로 바꿀 수 있습니다.

1STEP 1

7 을 한 단계씩 올리며 끝 두 자리만 남깁니다: 07, 49, 43, 01.

7¹ = 07, 7² = 49, 7³ = 343 → 43, 7⁴ = 43 × 7 = 301 → 01

2STEP 2

한 번 더 곱하면 01 × 7 = 07, 처음으로 복귀 — 끝 두 자리는 주기 4 로 반복됩니다.

7⁵ → 01 × 7 = 07 (= 7¹), 7⁶ → 49 (= 7²), …

3STEP 3

지수를 주기 길이로 나눕니다: 2011 = 4 × 502 + 3, 나머지 3 — 7²⁰¹¹ 은 7³ 처럼 끝납니다.

2011 = 4 × 502 + 3 → 7²⁰¹¹ 의 끝 두 자리는 7³ 와 같음

4STEP 4

7³ 이 43 으로 끝나니 7²⁰¹¹ 도 그렇고, 십의 자리는 4, 선택지 (D).

7²⁰¹¹ → … 43 → 십의 자리 = 4 → (D)

정답

주기 07, 49, 43, 01 에서 십의 자리만 보면 0, 4, 4, 0 — 결과적으로 답은 0 또는 4 중 하나일 수밖에 없고, 선택지에도 정확히 그 두 개((A) 0, (D) 4) 가 들어있습니다. 2011 mod 4 = 3 으로 43 자리에 떨어지므로 십의 자리는 4, 답 (D). 한 번 더 확인: 7²⁰¹² 는 01 로 끝나(십의 자리 0) 인접한 지수가 정말 주기대로 번갈아 나옵니다.

💡핵심 정리

엄청 큰 지수도 끝 두 자리는 금세 주기를 이루기 때문에, 6학년 나머지 나눗셈 하나면 답이 떨어져요!

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