경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #22
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
지수 2011은 너무 커서 직접 계산이 불가능합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 작은 지수부터 — 7¹, 7², 7³, … — 시작하고, 매 단계 마지막 두 자리만 남깁니다 (백의 자리 위로 올라가는 부분은 십의 자리에 영향을 주지 못합니다). 그 "끝 두 자리" 값들이 반복되기 시작하면 도구 #5(패턴 찾기)가 이어받습니다 — 짧은 주기를 찾아내면 지수 2011을 훨씬 작은 동치 지수로 바꿀 수 있습니다.
끝 두 자리 나열하기
7을 한 단계씩 올리며 끝 두 자리만 남깁니다: 07, 49, 43, 01.
거대한 지수를 1, 2, 3, 4로 줄이는 것이 더 쉬운 문제의 핵심입니다. 끝 두 자리만 추적하는 것은 "십·일의 자리는 백의 자리 아래에서 결정된다" 라는 5학년 자릿값 개념입니다.
5.NBT.A.1Solve An Easier Related Problem반복 주기 찾기
한 번 더 곱하면 01 × 7 = 07, 처음으로 복귀 — 끝 두 자리는 주기 4 로 반복됩니다.
반복되는 주기를 발견하고 명시하는 것은 4학년 "수 패턴 만들기·분석하기" 표준 그대로입니다 — 7⁴가 01로 돌아오는 순간 같은 사이클이 다시 시작될 수밖에 없습니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2011을 4로 나누기
지수를 주기 길이로 나눕니다: 2011 = 4 × 502 + 3, 나머지 3 — 7²⁰¹¹은 7³ 처럼 끝납니다.
큰 수를 나누어 나머지로 주기 안 위치를 찾는 것은 6학년 "여러 자릿수 나눗셈" 을 패턴 위치 찾기에 응용한 것입니다.
거대한 거듭제곱 7²⁰¹¹은 작은 거듭제곱 7³과 같은 두 자리로 끝난다. 왜냐하면 2011이 7의 거듭제곱의 마지막 두 자리가 도는 길이 4짜리 주기의 세 번째 자리에 놓이기 때문이다.
▸ 왜?
7의 거듭제곱의 마지막 두 자리는 07, 49, 43, 01로 진행하다가 다시 처음으로 돌아오므로, 길이 4의 고정된 반복 주기를 이룬다.
▸ 왜?
7⁴이 01로 끝난 뒤 7을 곱하면 07 — 바로 7¹의 끝자리 — 이 되므로, 끝자리 수열은 출발점으로 되돌아와 같은 네 값을 계속 반복해야 한다. 그 길이의 고정된 반복 주기는 4걸음마다 같은 자리에 놓인다.
▸ 왜?
다음 끝자리는 지금의 두 자리 끝자리에만 7을 곱해서 얻는다. 그보다 왼쪽 자리들은 백의 자리 위로 올림되어 십의 자리나 일의 자리로 다시 내려오지 않기 때문이다 — 그래서 두 자리 끝자리만으로 수열이 움직이며 깔끔하게 반복된다.
▸ 왜?
지수를 2011 = 4 × 502 + 3으로 쪼개면, 길이 4짜리 완전한 주기 502개가 끝자리를 출발점으로 되돌리고 3걸음만 남는다 — 그래서 7²⁰¹¹은 7³처럼 끝난다.
▸ 왜?
길이 4짜리 완전한 주기 502개는 각각 끝자리를 그 주기가 시작한 자리로 되돌리므로, 그 4 × 502 = 2008걸음은 모두 합쳐 아무것도 바꾸지 않고, 남은 3걸음만이 마지막 두 자리를 결정한다.
십의 자리 읽기
7³이 43 으로 끝나니 7²⁰¹¹도 그렇고, 십의 자리는 4, 선택지 (D).
어느 숫자가 십의 자리에 있는지 식별하는 것은 5학년 자릿값 정의 그 자체입니다.
5.NBT.A.1Look For A Pattern엄청 큰 지수도 끝 두 자리는 금세 주기를 이루기 때문에, 6학년 나머지 나눗셈 하나면 답이 떨어져요!
- 끝 두 자리 나열하기
- 반복 주기 찾기
- 2011을 4로 나누기
- 십의 자리 읽기
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