경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #24
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
10001 보다 작은 소수를 일일이 나열하는 건 불가능에 가까우니, 합의 홀짝 패턴(도구 #5)으로 후보를 단숨에 좁힙니다. 홀+홀=짝, 짝+짝=짝, 홀+짝=홀이라서 10001 같은 홀수가 되려면 두 소수 중 정확히 하나가 짝수여야 합니다. 짝수 소수는 2 뿐이므로 도구 #3(가능성 지우기)으로 무한히 많은 경우가 단 한 쌍 (2, 9999)으로 줄어듭니다. 마지막엔 9999가 소수인지 약수 하나만 확인하면 끝납니다.
10001의 홀짝 확인하기
10001은 일의 자리가 1이라 홀수이고, 홀수 합이 되려면 정확히 한 항만 짝수여야 합니다.
홀짝을 구분하고 합의 홀짝을 따지는 것은 2학년 표준이고, 이 문제의 핵심 일을 다 해 줍니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern유일한 짝수 소수 찾기
2 보다 큰 짝수는 2를 약수로 가져 합성수이므로, 짝수 소수는 2 뿐이고 그것이 짝수 항입니다.
4학년에서는 작은 수의 약수를 따져 소수/합성수를 판별하는데, 그 방법 그대로 2 외의 짝수가 전부 탈락합니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities빼서 나머지 수 구하기
한 소수가 2 라면 다른 항은 10001 - 2 = 9999 이므로, 유일한 후보 쌍은 (2, 9999)입니다.
여러 자리수 뺄셈은 4학년 유창성 표준이고, 그 한 번의 계산으로 유일한 후보가 정해집니다.
10001을 두 소수의 합으로 쓴다면, 그 두 소수는 반드시 2와 9999이어야 한다.
▸ 왜?
10001은 홀수이고, 합이 홀수가 되려면 두 수 중 하나는 짝수, 다른 하나는 홀수여야 하므로, 두 소수 중 하나는 짝수여야 한다.
▸ 왜?
소수 중에서 짝수는 2 하나뿐이므로, 쌍에서 짝수인 소수는 2일 수밖에 없다.
▸ 왜?
2보다 큰 짝수는 모두 1보다 큰 어떤 정수에 2를 곱한 것이라 2씩 같은 크기 묶음이 그만큼 있고, 1과 자기 자신 말고 다른 약수를 가지므로 소수가 아니라 합성수다.
▸ 왜?
한 소수가 2로 정해지면 나머지는 완전히 결정된다: 10001 - 2 = 9999여야 한다.
▸ 왜?
두 소수의 합은 10001이고 뺄셈은 덧셈을 되돌리므로, 모르는 나머지 소수는 10001에서 2를 뺀 값과 같다.
자릿수 합으로 9999 검사하기
9999의 자릿수 합은 9+9+9+9 = 36 으로 3의 배수라서 9999는 3으로 나누어져 합성수입니다.
3의 배수를 알아보고 자명한 약수쌍으로 합성수임을 선언하는 것은 4학년 소수/합성수 표준 그대로입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities가능한 경우 세기
유일한 후보 (2, 9999)는 9999가 합성수라 탈락하니, 10001은 두 소수의 합으로 0 가지입니다.
마지막 답은 가능성을 모두 지운 뒤 살아남은 후보의 수로, 4학년 소수/합성수 추론을 그대로 적용한 결과입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수/합성수" 추론만 알면 풀 수 있어요!
- 10001의 홀짝 확인하기
- 유일한 짝수 소수 찾기
- 빼서 나머지 수 구하기
- 자릿수 합으로 9999 검사하기
- 가능한 경우 세기
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